Das ist Mathematik 3, Schulbuch

F 4 Verhältnisgleichungen (Proportionen) 133 Olivia entdeckt bei einem Kinobesuch, dass das Seitenverhältnis der Leinwand bei einem Kinofilm 16  9 beträgt. Ihre Mutter erklärt: „Das bedeutet, dass sich die Breite des Bildes und die Höhe des Bildes wie die Zahlen 16 zu 9 verhalten.“ Bevor der Film beginnt, schätzt Olivia mit Hilfe von Schritten die Breite der Leinwand ab – sie beträgt ca. 10 m. Wie hoch muss dann die Leinwand sein? Sie überlegt: Das Verhältnis der Breite zur Höhe der Leinwand muss 16  9 sein, also 16  9 = 10  h, in Bruchschreibweise ​ 16 __ 9 ​ = ​ 10 __ h ​. Um die Höhe herauszufinden, muss Olivia diese Gleichung umformen. Dazu multipliziert sie nacheinander mit den Nennern 9 bzw. h: ​ 16 __ 9 ​ = ​ 10 __ h ​ ! · 9 É 16 = 9 ·​ 10 __ h ​ ! · h É 16 · h = 9 · 10 Aus dieser Gleichung kann Olivia die Unbekannte h ermitteln: Sie dividiert durch und erhält für die Höhe der Kinoleinwand h = m. Eine Gleichung der Art ​ 16 __ 9 ​ = ​ 10 __ h ​bzw. 16  9 = 10  h nennt man Verhältnisgleichung . Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lassen sich solche Verhältnisgleichungen lösen. Unbekannte im Zähler Beispiel: ​ a _ 3 ​ = ​ 4 _ 9 ​ ! · 3 É a = ​ 12 __ 9 ​ = ​ 4 _ 3 ​ (Multiplikation mit Nenner) Unbekannte im Nenner Beispiel: ​ 16 __ 9 ​ = ​ 10 __ h ​ Verhältnisse dürfen „umgedreht“ werden: „Das Verhältnis Breite zu Höhe ist wie 16  9“ ist gleichbedeutend mit: „Das Verhältnis Höhe zu Breite ist wie 9  16.“ Daher gilt: ​ 16 __ 9 ​ = ​ 10 __ h ​ É ​ 9 __ 16 ​ = ​ h __ 10 ​ Nun ist die Unbekannte im Zähler und die Gleichung kann wie oben gelöst werden. Diese Gleichung hätte Olivia auch mit Hilfe schrittweiser Äquivalenzumformungen erhalten. interaktive Vorübung 3hq9di AH S. 38 Bei einer Verhältnisgleichung a  b = c  d oder ​ a _ b ​ = ​ c _ d ​(b, d ≠ 0) heißen a und d Außenglieder und b und c Innenglieder . Diese Gleichung ist für a, b, c, d ≠ 0 äquivalent zu: a = ​ b · c ___ d ​ Multiplikation mit dem (ersten) Nenner a · d = b · c Multiplikation mit beiden Nennern; das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. b  a = d  c „ Umdrehen “ der Verhältnisse a  c = b  d Bei einer Proportion dürfen die Innenglieder vertauscht werden. d  b = c  a Bei einer Proportion dürfen die Außenglieder vertauscht werden. Äquivalente Verhältnisgleichungen (Proportionen) 4 Verhältnisgleichungen (Proportionen) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv