Das ist Mathematik 3, Schulbuch

F1 Lösen von Gleichungen 125 Ermittle mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung! Führe die Probe durch! a) ( 2m – 3 ) – ( 3m – 1 ) = 2 + ( m + 4 ) e) 3 y + 4 ( y – 3 ) = 5 y – 3 ( y – 1 ) b) 6m – ( 3 + 2m ) = m – ( 4 – 2m ) f) 2 z – 3 = 2 · ( z + 1 ) – z c) 5m – ( 3 + 2m ) = m – ( 4 – 2m ) g) ( 3u – 2 ) 5 = ( 5u – 1 ) 3 – 7 d) z – 3 = 3 z – 2 ( z + 1 ) h) ( 2 – 4 x ) 5 + 6 x = ( 5 – 7x ) 2 Ermittle die Lösung der Gleichung und führe die Probe durch! a) (x + 2)(3 x – 4) = 3 x (x – 2) d) (x – 3) 2 = x 2 + 12 b) (6 x + 5)(4x + 3) = 3 x (8 x + 11) e) (x + 2) 2 = (x + 2)(x – 2) c) (x + 2) 2 = x 2 + 4 f) (x + 4) 2 = (x – 4) 2 – 32 Ordne die Lösung der entsprechenden Gleichung zu! 1 x = ‒ 4 _ 3 A ( x – 2 ) 2 – x 2 = 3 ( x – 1 ) 2 x = 0,25 B 2 x ( x – 3 ) – 3 ( x – 1 ) = 2x 2 + 15 3 x = 1 C ( 4 x – 2 ) 2 + 8 = ( 4 x + 2 ) 2 4 x = 2 D ( x – 3 ) ( x + 3 ) = x 2 – 3 ( 5 – x ) Markiere alle Gleichungen rot, die keine Lösung haben, alle allgemein gültigen Aussagen grün und alle Gleichungen mit der Lösung 0 gelb! Begründe deine Wahl mit Hilfe der Infobox ! A 3 a = 3 a + 1 E 4 r + 2 = 4 r + 2 B 2b = 5b F ‒ 3 f – 2 = 5 f – 2 C 7z – 2 = 7z – 2 G 1 _ 2 z + 1 = 1 _ 3 z + 1 D z = z – 1 H 8 a = 8 a – 7a Löse die Gleichung und überprüfe die Lösung mit Hilfe der Probe! a) x _ 2 – 3 _ 4 = x c) x _ 2 – x _ 3 = 1 e) 3 y __ 2 – 5 = y + 2 g) z _ 2 + z _ 3 + z _ 4 = 13 b) x _ 4 + x = 1 d) 2 y __ 3 + 1 _ 2 = y – 5 _ 6 f) 5 y __ 2 + 1 = y _ 3 + 1 h) z _ 2 + z _ 3 – z _ 4 = 7 535 D A O I Beispiel 4 · ( 2 x – 3 ) + x = 6 x + 9 Probe: 8 x – 12 + x = 6 x + 9 Schritt 0 linke Seite: 4 · ( 2 · 7 – 3 ) + 7 = 4 · 11 + 7 = 51 9 x – 12 = 6 x + 9 ! – 6 x Schritt 1 3 x – 12 = 9 ! + 12 Schritt 2 rechte Seite: 6 · 7 + 9 = 42 + 9 = 51 3 x = 21 !  3 Schritt 3 x = 7 536 D A O I Streiche gleiche Glieder, die auf beiden Seiten mit denselben Vorzeichen auftreten, weg (ent- spricht einer Subtraktion auf beiden Seiten). ZB: 3x 2 – 2 x + 4 = 3x 2 + 12 – 2 x + 4 = 12 Tipp 537 D A O I Allgemein gültige Gleichung: Eine solche Glei- chung liefert immer eine wahre Aussage – alle Zahlen erfüllen diese Gleichung (zB 2 x = 2 x). Gleichung ohne Lösung: Eine solche Gleichung liefert immer eine falsche Aussage – keine Zahl erfüllt diese Gleichung (zB a – 2 = a). Lösung 0: Gleichungen zB der Form 4 a = 2 a oder 5 a = 0 haben als Lösung die Zahl 0. Sonderfälle 538 D A O I 539 D A O I Beispiel z _ 3 + z _ 4 + 2 = z É 7z __ 12 + 2 = z ! ‒ z 7z __ 12 – z + 2 = 0 É ‒ 5 z __ 12 + 2 = 0 ! ‒ 2 ‒ 5 z __ 12 = ‒ 2 ! : ( ‒ 5 __ 12 ) É z = 24 __ 5 = 4,8 Probe: Linke Seite: 4,8 __ 3 + 4,8 __ 4 + 2 = 1,6 + 1,2 + 2 = 4,8 Rechte Seite: 4,8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv