Das ist Mathematik 3, Schulbuch

F1 Lösen von Gleichungen 123 1.2 Äquivalenzumformungen Samira hat bei ihrer Oma eine alte Waage entdeckt. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn auf der linken und auf der rechten Waagschale Gegenstände mit gleichem Gewicht liegen. Eine Gleichung entspricht einer solchen Waage, denn das Gleichheits­ zeichen drückt aus, dass die linke Seite und die rechte Seite einer Gleichung gleich „schwer“ sind. Das Gleichgewicht einer Waage ändert sich dabei nicht, wenn man beide Seiten auf gleiche Weise verändert. Samira zeichnet folgende Skizzen für die Gleichung 3 x + 5 = 11. Samira will 5 grüne Kugeln von jeder Seite der Waage entfernen, dies wird durch den senkrechten Strich rechts von der Gleichung angedeutet: 3 x + 5 = 11 ! ‒ 5 3 x + 5 – 5 = 11 – 5 vereinfachen: Samira drittelt den Inhalt jeder Schale: 3 x = 6 !  3 ​ 3 x __ 3 ​ = ​ 6 _ 3 ​ Samira erhält: x = Probe: 3 · + 5 = Natürlich hätte Samira aber auch auf jeder Waagschale gleich viele grüne Kugeln (oder auch gleich viele Würfel) hinzufügen können. Die Waage würde selbst dann im Gleichgewicht bleiben, wenn Samira den Inhalt der linken und rechten Schale verdoppeln würde. Hinweis Auch die Anwendungen des Kommutativgesetzes, des Assoziativgesetzes und des Distributivgesetzes (Auflösen von Klammern, usw.) sind Äquivalenzumformungen. Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen Es kommt vor, dass eine Gleichung mehr als eine Lösung oder gar keine Lösung hat. Mehrere Lösungen zB: Keine Lösung zB: 4 r + 5 – r = 6 + 3 r – 1 4 s + 5 – s = 6 + 3 s – 2 3 r + 5 = 3 r + 5 3 s + 5 = 3 s + 4 3 r = 3 r 3 s = 3 s – 1 Alle Zahlen r erfüllen diese Gleichung. Die Gleichung wird von keiner Zahl s erfüllt! Diese Gleichung ist allgemein gültig. x x x x x x x Die Lösung einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten 1) dieselbe Zahl addiert , 2) dieselbe Zahl subtrahiert , 3) mit derselben Zahl ( ≠ 0) multipliziert , 4) durch dieselbe Zahl ( ≠ 0) dividiert , 5) dasselbe Vielfache der Unbekannten addiert bzw. subtrahiert . Äquivalenzumformungen Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv