Das ist Mathematik 3, Schulbuch

E2 Rechnen mit Termen 109 Ergänze auf Grund der Formel (a + b) · (a – b) = (a 2 – b 2 )! a) (2 x – 3 y) · ( ) = – 9 y 2 d) (a – ) · ( + 7b) = b) (2 a + ) · ( – 5) = 4 a 2 – e) ( + 3 v) · (5u – ) = c) ( + 2 a 2 ) · (3b – ) = f) (4 v 3 + ) · ( ) = – 36 t 6 Schreibe als Produkt zweier Terme! a) u 2 – v 2 = c) 16 y 2 – 36 = e) ​ 1 _ 4 ​x 2 – y 2 = g) ‒​ 9 s 2 + ​ t 2 __ 9 ​ = b) 4 a 2 – b 2 = d) 9 z 4 – 16 z 2 = f) 4u 2 – ​ y 2 __ 9 ​ = h) ‒​ 4 r 2 __ 9 ​ + 16 s 2 = Das Quadrat jeder natürlichen Zahl ist um 1 größer als das Produkt ihrer Nachbarzahlen. 1) Überprüfe diesen Satz anhand fünf selbst gewählter natürlicher Zahlen! 2) Schreibe diesen Satz mit Variablen auf und begründe ihn! Rechenvorteile mit binomischen Formeln 1) Berechne 28 2 mit der binomischen Formel für (a + b) 2 ! 2) Wie kannst du 28 2 mit der binomischen Formel für (a – b) 2 berechnen? 3) Berechne ebenso 82 2 zuerst mit der einen und dann mit der anderen binomischen Formel! Hinweis Verwende Zerlegungen zB 28 = 20 + 8 = 30 – 2! Berechne zuerst ohne TR und kontrolliere anschließend mit dem TR! a) 2 999 · 3 001 b) 4 002 · 3 998 c) 6 001 · 5 999 d) 7997 · 8 003 Denk dir eine natürliche Zahl! Multipliziere ihren Vorgänger mit ihrem Nachfolger und zähle 1 dazu! Probiere nochmals mit zwei anderen Zahlen! Was fällt dir auf? Begründe! Natascha rechnet 41 2 = 1 681 und Jakob 61 · 59 = 3 599 „im Kopf“. Wie können sie vorgegangen sein? Berechne „im Kopf“! a) 47 2 = 2 209. Wie viel ist dann 46 · 48? c) 3,8 2 = 14,44. Wie viel ist dann 3,7 · 3,9? b) 76 2 = 5776. Wie viel ist dann 75 · 77? d) 9,2 2 = 84,64. Wie viel ist dann 9,1 · 9,3? Felix quadriert mit seinem Taschenrechner einige Zahlen, die mit „Komma 5“ enden. Er vergleicht die Ergebnisse und sagt plötzlich: „Jetzt weiß ich, wie das Ergebnis bei 8,5 heißt.“ Erkennst du das Muster? a 1,5 2,5 5,5 6,5 7,5 8,5 a 2 2,25 6,25 30,25 42,25 56,25 Aleksandra hat etwas entdeckt: „13 2 ist 169 und wenn man beide Ziffern umdreht, dann sind bei 31 2 = 961 auch die Ziffern umgedreht.“ Martin meint: „Bei 12 2 und 21 2 funktioniert es auch. 12 2 = 144 und 21 2 = 441.“ Kannst du eine Erklärung dafür finden? Gibt es noch andere Beispiele dafür? Wenn ja, welche? Wenn nein, warum nicht? Warum funktioniert es bei 14 2 und 41 2 nicht ebenso? 460 D A O I 461 D A O I 462 D A O I 463 D A O I 464 D A O I Beispiel 199 · 201 199 · 201 = (200 – 1) · (200 + 1) = 200 2 – 1 2 = 40 000 – 1 = 39 999 465 D A O I 466 D A O I 467 D A O I 468 D A O I 469 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv