Das ist Mathematik 3, Schulbuch

E2 Rechnen mit Termen 107 2.3 Binomische Formeln Martin soll auf einem quadratischen Grundstück mit Seitenlänge a den Rasen mähen. Außerhalb des Zaunes befindet sich an zwei Seiten noch ein zusätzlicher Grün­ streifen der Breite b, den er auch mähen muss. Wie groß ist die Fläche insgesamt? Der Flächeninhalt der gesamten Rasen- fläche ( ➞ Figur rechts) entspricht der Summe der vier Teilflächeninhalte A = Wir können den Flächeninhalt des großen Quadrats auch berechnen, indem wir die Seitenlängen der gesamten Fläche multiplizieren: A = Es gilt also: (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 Zu demselben Resultat kommen wir auch rein rechnerisch durch Ausmultiplizieren : (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a · a + a · b + a · b + b · b = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) bzw. (a – b) sind Binome, daher heißen die drei Formeln „Binomische Formeln“. Zeige durch Ausmultiplizieren, dass die Formel gilt! a) (a – b) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 b) (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2 Wende die binomischen Formeln an! a) (a + 1) 2 = c) (c + 100) 2 = e) (10 – e) 2 = b) (b – 2) 2 = d) (10 + d) 2 = f) (12 – f) 2 = Beispiel (3 x – 2 y) 2 = (3 x ) 2 – 2 · 3 x · 2 y + (2 y ) 2 = 9 x 2 – 12 x y + 4 y 2 (a – b) 2 = a 2 – 2 · a · b + b 2 a) (2 a + 1) 2 = b) (4 i – 7) 2 = c) (2m + 5p) 2 = d) (3u – 4 v) 2 = e) (7x – 0,5u) 2 = a) ( ‒ 3 x + y) 2 = b) ( ‒ 5 y + 7z) 2 = c) ( ‒ 4 v + 3 k) 2 = d) ​ ( ‒​ x _ 2 ​ + ​ y _ 3 ​ ) ​ 2 ​ = a) ( ‒ 4 a – 3m) 2 = b) ( ‒ 3b – 4u) 2 = c) ( ‒ 6 c – v) 2 = d) ​ ( ‒ 5 r – ​ s _ 2 ​ ) ​ 2 ​ = a) (e + f g) 2 = c) (1 + p s) 2 = e) (3 – gh) 2 = g) (a 2 + 2b 2 ) 2 = b) (a 2 + b 2 ) 2 = d) (a – b 2 ) 2 = f) (ab – c 2 ) 2 = h) (3 a 2 – b 2 ) 2 = Gilt (a + b) 3 = a 3 + 3ab + b 3 ? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? b b a a a b 2 a . b a . b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2 a b + b 2 (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2 Binomische Formeln Diese Formeln kommen sehr häufig vor. Es ist ratsam, sie auswendig zu lernen! Tipp 448 D A O I Führe das Binom auf die Formel (a – b) 2 zurück! Tipp 449 D A O I 450 D A O I 451 D A O I ( ‒ a + b) 2 = (b – a) 2 ( ‒ a – b) 2 = (a + b) 2 , denn ( ‒ a – b) = ( ‒ 1) · (a + b) und ( ‒ 1) 2 = 1 Tipp 452 D A O I 453 D A O I 454 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv