Das ist Mathematik 3, Schulbuch

E2 Rechnen mit Termen 103 2.2 Multiplizieren von Termen Familie Hofer will im Garten einen kleinen Swimmingpool bauen lassen. Florian hätte gerne ein richtig großes Schwimmbecken, dreimal so lang und fünfmal so breit wie das von seinen Eltern geplante. Er überlegt, wie groß die Fläche wäre, die das Becken im Garten einnimmt, wenn die Länge des kleineren Pools a und seine Breite b wäre. Der Flächeninhalt des kleinen Beckens wäre: A = Als Hilfe macht er eine Zeichnung: Die Länge des großen Beckens wäre demnach · a und die Breite · b . Der Flächeninhalt des neuen Beckens wäre also · . Mit Hilfe der Abbildung kann Florian auch erkennen, dass der Flächeninhalt 15 · a · b sein muss. Tatsächlich erhält Florian genau 15 ab, wenn er die Koeffizienten miteinander multipliziert und die Variablen als Faktoren beibehält: 3 a · 5b = 3 · a · 5 · b = (3 · 5) · (a · b) = 15 ab Florians Zeichnung ist eine geometrische Darstellung der Multiplikation 3 a · 5b. Diese Veranschaulichung gilt nur für positive Zahlen a, b, da es ja keine negativen Streckenlängen gibt. Treten in einer Multiplikation verschiedene Variablen auf, so ordnet man sie nach dem Alphabet. Hinweis Um Fehler zu vermeiden, wird ein Produkt wie ‒ 3 a ·– 5b in der Form ( ‒ 3 a) · ( ‒ 5b) geschrieben. Rechenzeichen und Vorzeichen dürfen nicht direkt aneinander stoßen! Multiplizieren mit eingliedrigen Termen Wird ein mehrgliedriger Term mit einem eingliedrigen multipliziert, wird das Distributivgesetz angewendet. Man sagt: Die Klammer wird ausmultipliziert . Beispiel: (3 a + 2b) · d = 3 a · d + 2b · d = 3 ad + 2bd 2m · (3 t – 5 z + 7u) = 2m · 3 t – 2m · 5 z + 2m · 7u = 6mt – 10mz + 14mu Multiplizieren mit mehrgliedrigen Termen Auch für das Multiplizieren mit mehrgliedrigen Termen gilt das Distributivgesetz. Hier wird es mehrmals angewendet: 1. Art: 2. Art: (a + b) · (c – d) = (a + b) · (c – d) = = a · (c – d) + b · (c – d) = = (a + b) · c – (a + b) · d = = a · c – a · d + b · c – b · d = a c + b c – a d – b d = a · c + b · c – (a · d + b · d ) = a c + b c – a d – b d Wir können diese Rechnung auch graphisch als Flächeninhalt des grünen Rechtecks veranschaulichen: A = (a + b) · (c – d) aber auch A = a · c + b · c – a · d – b · d a a . b a a b b b b b a b d c a . d b . d Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv