Das ist Mathematik 2, Schulbuch

Teilbarkeit A3 34 3.3 Zusammenhang zwischen ggT und kgV Bei den Hausaufgaben meint Alex: „Wenn alle anderen Zahlen außer den Primzahlen zusammengesetzt sind, müssen wir bei den Aufgaben zum ggT ja nur die Primzahlen beachten.“ Julia ergänzt, dass das auch der Teilbarkeitsregel von 6 entspricht. Größter gemeinsamer Teiler mit Primfaktorenzerlegung Es bietet sich folgender Weg zum Auffinden der Primfaktoren an. 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 1. Dividiere durch die kleinste in der Zahl enthaltene Primzahl (hier: 2)! 2. Schreibe den Quotienten unter die ursprüngliche Zahl (hier: 36 )! 3. Dividiere diesen Quotienten wieder durch die kleinste in ihm enthaltene Primzahl (hier: 2)! 4. Führe das Verfahren so lange fort, bis sich der Quotient 1 ergibt! 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 ist die Primfaktorenzerlegung von 72. 60 2 30 2 15 3 5 5 1 Für die Zahl 60 ergibt sich die Primfaktorenzerlegung 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Der größte gemeinsame Teiler zweier (oder mehrerer) Zahlen ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren . Kommt ein Primfaktor mehrfach vor, wird er nur so oft genommen wie in jener Zerlegung, in der er am seltensten vorkommt . Daher gilt: ggT (60, 72) = 2·2·3 = 12. Kleinstes gemeinsames Vielfaches mit Primfaktorenzerlegung Aus der Primfaktorenzerlegung kann man auch sehr rasch das kleinste gemeinsame Vielfache finden. Da im kgV jede Zahl als Faktor enthalten sein muss, nimmt man dafür jeden Primfaktor sooft, wie er am häufigsten vorkommt. Das kgV ist dann das Produkt dieser Primfaktoren . Daher: kgV ​ ( 60, 72 ) ​ = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 72 · 5 = 360. Zusammenhang zwischen ggT und kgV Falls zwei Zahlen teilerfremd sind, ist der größte gemeinsame Teiler gleich 1 und das kleinste ge- meinsame Vielfache das Produkt der beiden Zahlen. Da wir stets alle Primfaktoren der beiden Zahlen entweder für den ggT oder das kgV verwendet haben, gilt für zwei beliebige Zahlen a und b immer: a · b = ggT (a, b) · kgV (a, b), zB 60 · 72 = 4 320 = ggT ​ ( 60, 72 ) ​ · kgV ​ ( 60, 72 ) ​ = 12 · 360 = 4 320 Anwendungen von ggT und kgV ggT: Aufteilung in gleich große „Pakete“, die möglichst groß sein sollen (vgl. Aufgabe 108) oder Aufteilung einer Rechteckfläche in quadratische Unterteilungen. Beim Kürzen von Brüchen: zB ​ 18 __ 24 ​ = ​ 3 _ 4 ​ (gekürzt durch den ggT ​ ( 18, 24 ) ​= 6), kgV: Bei Textaufgaben, bei denen sich eine Ausgangssituation wiederholt (vgl. Aufgabe 109). Beim Bruchrechnen: kgV gibt den kleinsten gemeinsamen Nenner an. : 2-Mal 3-Mal 60 2 30 2 15 3 5 5 1 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 1-Mal = 60 = 72 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv