Das ist Mathematik 2, Schulbuch

A3 Primzahlen 33 3.2 Primfaktorenzerlegung Die Primzahlen sind besondere natürliche Zahlen. Doch was ist mit den anderen natürlichen Zahlen? Diese lassen sich in Produkte von Primzahlen, die so genannten Primfaktoren , zerlegen. Alle Nicht-Primzahlen, außer die Zahlen 0 und 1, heißen zusammengesetzte Zahlen : ZB 4 = 2 · 2; 6 = 2 · 3; 10 = 2 · ;12 = 2 · 2 · ; 14 = · 7 Die Primfaktorenzerlegung jeder Zahl ist, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutig . Hinweis 1 wird nicht zu den Primzahlen gezählt, sonst könnte man zB neben 72 = 1 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 auch 72 = 1 · 1 · 1 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 usw. schreiben. Die Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung wäre nicht mehr gegeben. Primzahlen können nicht in ein Produkt kleinerer Zahlen zerlegt werden. Größere Zahlen können oft mit dem „Ein mal Eins“ in ihre Primfaktoren zerlegt werden: ZB: 72 = 8 · 9 = 2 · 4 · 3 · 3 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 oder 72 = 2 · 36 = 2 · 6 · 6 = 2 · 2 · 3 · 2 · 3 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 Hinweis Da manche Primfaktoren mehrmals vorkommen, kann man die so genannte Potenz- schreibweise verwenden. Dabei wird zB 3 · 3 als ​3​ 2 ​geschrieben, da 3 als Faktor 2-mal vorkommt. So ergibt sich für zB 72 = ​2​ 3 ​ ·​ 3​ 2 ​ . Primfaktoren und Teiler Die Teiler einer Zahl ergeben sich aus den Primfaktoren, wenn man die Primfaktoren einzeln verwendet und alle möglichen (Teil-)Kombinationen bildet: zB 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 führt zu den Teilern: 2, 3, 2 · 2, 2 · 3, 3 · 3, 2 · 2 · 2, Zerlege in Primfaktoren! a) 12 c) 50 e) 72 g) 225 i) 420 k) 625 m) 1 080 o) 6 048 b) 48 d) 64 f) 96 h) 250 j) 500 l) 720 n) 1 152 p) 6720 Hinweis Beginne zuerst durch „kleine“ Primzahlen wie 2, 3, 5 usw. zu dividieren. Welche zusammengesetzten Zahlen von 1 bis 100 haben in der Primfaktorenzerlegung nur die Primfaktoren a) 2, b) 3, c) 5, d) 2 und 3, e) 2 und 5? Von einer Zahl ist die Primfaktorenzerlegung bekannt. Gib mindestens vier echte Teiler dieser Zahl an, ohne den Wert des Produkts zu berechnen! a) 2 · 2 · 3 · 5 b) 2 · 3 · 3 · 5 c) 2 · 2 · 5 · 7 d) 2 · 2 · 2 · 2 · 3 e) 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 Zahlen, die neben den unechten Teilern auch echte Teiler haben, heißen zusammengesetzte Zahlen . Diese können in Produkte von Primzahlen zerlegt werden. Diese eindeutige Zerlegung heißt Primfaktorenzerlegung . Die Zahlen 0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzte Zahlen. Zusammengesetzte Zahlen = 4 = 6 = 9 = 8 101 D A O I 102 D A O I 103 D A O I Beispiel 2·2·3 Lösung : 2 ! ( 2 · 2 · 3) 3 ! ( 2 · 2 · 3) ​ ( 2·2 ) ​ = 4 ! ( 2 · 2 · 3) ​ ( 2·3 ) ​ = 6 ! ( 2 · 2 · 3) Arbeitsblatt yu4q94 Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv