Das ist Mathematik 2, Schulbuch

Teilbarkeit A1 22 1.2 Größter gemeinsamer Teiler Thomas möchte ein rechteckiges Blatt Papier (Länge 30 cm und Breite 20 cm) mit einem zweifärbigen, quadratischen Muster überziehen. Er stellt rasch fest, dass es viele Möglichkeiten dafür gibt: Quadratmuster 1 cm × 1 cm Quadratmuster 2 cm × 2 cm Quadratmuster 5 cm × 5 cm 30 Felder 20 Felder 15 Felder 10 Felder 5 Felder 4 Felder Thomas bemerkt, dass es sich bei den möglichen Quadratlängen nur um gemeinsame Teiler der Rechteckseiten handeln kann. Um dies genauer zu untersuchen, schreibt er die Teilermengen auf: ​T​ 20 ​ = { } ​T​ 30 ​ = { } Die gemeinsamen Teiler von 20 und 30 unterstreicht er. Da diese gemeinsamen Teiler in beiden Mengen vor- kommen, schreiben wir: ​ T​ 20 ​ ° ​T​ 30 ​ = {1, 2, 5, 10} . Im Bild rechts sind die Teilermengen und die gemeinsamen Teiler in einem Mengendiagramm dargestellt. Unter den gemeinsamen Teilern zweier oder mehrerer Zahlen gibt es immer einen größten gemeinsamen Teiler ( ggT ). Von den vier gemeinsamen Teilern ist 10 der größte - wir schreiben also: ggT (20, 30) = 10. Unter den gemeinsamen Teilern ist immer die Zahl 1 . Es gibt Zahlen, die nur 1 als gemeinsamen Teiler haben, zB 9 und 10: ​T​ 9 ​ = ​ { 1, 3, 9 } ​, ​T​ 10 ​ = ​ { 1, 2, 5, 10 } ​ w ggT (9, 10) = 1. Solche Zahlen nennt man teilerfremd . Gegeben sind zwei Zahlen: a) 12 und 16 b) 10 und 20 c) 17 und 19 d) 18 und 24 e) 36 und 48 1) Wie lautet die Teilermenge jeder dieser Zahlen? 2) Wie lautet die Menge der gemeinsamen Teiler? 3) Wie lautet der größte gemeinsame Teiler? 4) Zeichne ein Mengendiagramm zur Ermittlung der Menge der gemeinsamen Teiler! Alexander hat in seinem Garten 54 Äpfel und 36 Birnen gesammelt. Er möchte ausschließlich gleiche Pakete für seine Freunde zusammenstellen. Wie muss er die Pakete zusammenstellen, damit er mög- lichst viele gleiche Pakete hat? Wie viele Freunde kann er beschenken? 1 2 3 4 5 6 10 20 30 15 T 20 T 20 T 30 T 30 ° Der größte gemeinsame Teiler zweier oder mehrerer Zahlen hat folgende Eigenschaften : 1. Er teilt jede dieser Zahlen. 2. Unter den gemeinsamen Teilern dieser Zahlen ist er der größte . Größter gemeinsamer Teiler (ggT) 46 D A O I 47 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv