Das ist Mathematik 2, Schulbuch

206 Dreiecke H5 5.5 Zusammenfassung: Mittelpunkte im Dreieck Wir haben nun vier „Kandidaten“ für den Mittelpunkt eines Dreiecks gefunden und alle vier sind gleichberechtigte Mittelpunkte. Jeder und jede kann sich einen „ Lieblingsmittelpunkt “ aussuchen. Eines haben sie alle gemeinsam: Die drei Konstruktionslinien jedes Punktes treffen einander jeweils in einem Punkt – das ist nicht selbstverständlich bei drei Linien, das ist sehr bemerkenswert und etwas Besonderes! Deshalb werden U, I, H und S oft als „merkwürdige Punkte im Dreieck“ bezeichnet. Eulersche Gerade Der Höhenschnittpunkt H , der Umkreismittelpunkt U und der Schwerpunkt S liegen bei jedem Dreieck auf einer gemeinsamen Geraden e, der Inkreismittelpunkt I im Allgemeinen nicht! Diese Gerade wird zu Ehren des bedeutenden Schweizer Mathematikers Leonhard Euler (1707–1783) die eulersche Gerade genannt. Konstruiere das Dreieck ABC aus a = 55mm, b = 105mm und c = 100mm! Zeichne die Streckensymmetrale s AB , die Winkelsymmetrale ​w​ γ ​ , die Schwerlinie s c und die Höhe h c des Dreiecks! Überzeuge dich, dass man vier verschiedene Linien erhält! Konstruiere im gegebenen Dreieck ABC die merkwürdigen Punkte H, U und S! Zeichne auch die eulersche Gerade ein! a) a = 85 mm , b = 110 mm , c = 120 mm c) c = 108 mm , α = 76°, β = 48° b) a = 50 mm , b = 90 mm , c = 110 mm d) a = 130 mm , b = 74 mm , α = 66° Konstruiere im gegebenen Dreieck ABC die eulersche Gerade! Zeige, dass der Inkreismittelpunkt nicht auf der eulerschen Geraden liegt! a) a = 86 mm , b = 124 mm , c = 112 mm c) a = 120 mm , c = 90 mm , α = 110° b) a = 70 mm , b = 130 mm , c = 90 mm d) a = 104 mm , b = 68 mm , γ = 90° Konstruiere die merkwürdigen Punkte H, U, S und I und gib ihre Koordinaten an! Zeichne auch die eulersche Gerade ein! a) A = (1 1 1), B = (8 1 2), C = (4 1 9) b) A = (1 1 0), B = (7 1 3), C = (5 1 8) c) A = (0 1 2), B = (8 1 6), C = (3 1 6) Welcher der blauen Punkte ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks? Überlege ohne zu konstruieren! U H A B C a b c U H S e 814 D A O I 815 D A O I Merke dir das Wort „HUS“ im Zusam­ menhang mit der eulerschen Geraden! Tipp 816 D A O I 817 D A O I 818 D A O I A B a b c C M N K P L Arbeitsblatt Plus gx5uu2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv