Das ist Mathematik 2, Schulbuch

205 H5 Besondere Eigenschaften des Dreiecks Konstruiere das Dreieck ABC! Zeichne die angegebene Höhe ein und miss sie! a) a = 85mm, b = 70mm, c = 95mm; h a c) c = 97mm, α = 40°, β = 63°; h b b) a = 68mm, b = 122mm, c = 74mm; h a d) b = 76mm, c = 61mm, α = 110°; h b Konstruiere das Dreieck ABC! Zeichne die Höhen h a , h b und h c und den Höhenschnittpunkt H ein! Miss die drei Höhen! a) a = 95mm, b = 80mm, c = 85mm c) c = 75mm, α = 70°, β = 35° b) a = 138mm, b = 72mm, c = 94mm d) a = 60mm, c = 56mm, β = 130° Zeichne das dreieckige Grundstück ABC im gegebenen Maßstab! Wie weit sind die Eckpunkte von der jeweils gegenüberliegenden Grenzlinie des Grundstücks in Wirklichkeit entfernt? a) a = 120m, b = 90m, c = 130 m; Maßstab 1  1 000 b) c = 206m, α = 72°, β = 44°; Maßstab 1  2 000 Zeichne das durch die Koordinaten der Eckpunkte gegebene Dreieck ABC! Zeichne die Höhen h a , h b und h c ein und gib die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H an! a) A = (1 1 1), B = (7 1 2), C = (5 1 8) b) A = (1 1 1), B = (9 1 0), C = (5 1 4) c) A = (2 1 1), B = (7 1 4), C = (4 1 4) Von einem Dreieck ABC kennt man zwei Seitenlängen und die Höhe h c . 1) Konstruiere das Dreieck! Es gibt zwei Lösungen. Begründe! 2) Gib für beide Lösungen den Umfang und die Längen der beiden anderen Höhen an! a) a = 8 cm, c = 12 cm, h c = 6 cm b) b = 56mm, c = 102mm, h c = 50mm Anleitung: Beginne mit der Seite c und zeichne dann eine Parallele zu dieser Seite im Abstand h c ! Warum treffen einander die drei Höhen eines Dreiecks ABC in einem Punkt? Dieser Beweis soll das klären: 1) Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC! 2) Konstruiere das parallele Umdreieck des Dreiecks ABC! Beschreibe mit eigenen Worten anhand der drei Skizzen, wie das Umdreieck entsteht! A B c C a b A B c C a b A B c C a b 3) Anhand der auftretenden Parallelogramme sieht man, dass die „neuen“ parallelen Seiten jeweils so lang wie die „alten“ sind. 4) A B c C a b Konstruiere dann den Umkreismittelpunkt des „neuen“ Dreiecks (des parallelen Umdreiecks von ABC). Die dafür benötigten Streckensymmetralen treffen einander in einem Punkt, was wir schon auf Seite 199 gezeigt haben. Die Streckensymmetralen sind aber gleichzeitig die Höhengera­ den des „alten“ Dreiecks ABC! Also treffen einander die Höhen genauso in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt. 808 D A O I 809 D A O I 810 D A O I 811 D A O I 812 D A O I 813 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv