Das ist Mathematik 2, Schulbuch

204 Dreiecke H5 5.4 Höhenschnittpunkt Höhen eines Dreiecks Die Eltern von Lukas haben vor einigen Jahren ihre Wohnung renoviert und dabei das Foto links gemacht. Lukas fragt sich nun, wie hoch die abgebildete Leiter war. Lukas weiß, dass er dazu nicht einfach die Länge der Leiterschenkel abmessen darf. Welche Länge ist mit Höhe der Leiter gemeint? Lukas misst die Höhe mit ca. 5,5cm ab. Das Bild ist im Maß­ stab 1  50 dargestellt und damit ist die Höhe der Leiter in Wirklichkeit: Die kürzeste Verbindung der oberen Dreiecksspitze zur Grund­ linie ist die Höhe des Dreiecks . Ihre Länge entspricht dem Normalabstand des Punktes C von der Seite c und man nennt sie Höhe auf die Seite c (h c ). Der (Normal-)Abstand des Punktes A von der Seite a heißt Höhe auf a (h a ), der Abstand des Punktes B von der Seite b heißt Höhe auf b (h b ). Mit dem Wort „Höhe“ ist sowohl die jeweilige Strecke als auch deren Länge gemeint. Höhenschnittpunkt Zeichnet man in einem Dreieck alle drei Höhen h a, h b und h c ein, so erhält man einen weiteren „Kandidaten“ für den Mittelpunkt des Dreiecks. Die drei „ Höhengeraden “ schneiden einander wieder nämlich in einem gemeinsamen Punkt, dem Höhenschnittpunkt H . Hinweis In der Aufgabe 813 wird dies begründet. Die Normale durch den Eckpunkt eines Dreiecks auf die gegenüberliegende Dreiecksseite heißt Höhengerade , der Normalabstand des Eckpunktes von der Seite heißt Höhe . In jedem Dreieck schneiden einander die drei Höhengeraden in genau einem Punkt , dem Höhenschnittpunkt . Höhenschnittpunkt im Dreieck Im links unten abgebildeten stumpfwinkligen Dreieck ABC schneidet die durch C gehende Normale auf die Seite c zwar nicht die Seite c, aber die Verlängerung der Seite c über B hinaus. Die Höhe ​h​ c ​und ihre Höhengerade liegen außerhalb des Dreiecks. A B c C a b h c Auch stumpfwinklige Dreiecke haben einen Höhenschnittpunkt . Er liegt außerhalb des Dreiecks ( ➞ Figur rechts). A B c C a b h c A B c C a b H h c h a h b h c h b h a A B c C a b H Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv