Das ist Mathematik 2, Schulbuch

201 H5 Besondere Eigenschaften des Dreiecks 5.2 Inkreismittelpunkt Zweite Eigenschaft: Gibt es einen Punkt, der von allen Seiten gleich weit entfernt ist? Auf Seite 178 hast du schon gelernt: • Alle Punkte, die von den Seiten b und c gleich weit entfernt sind, liegen auf der Winkelsymmetrale w α . • Alle Punkte, die von den Seiten a und c gleich weit entfernt sind, liegen auf der Winkelsymmetrale w β . Ein Punkt, der von a, b und c gleich weit entfernt liegt, muss also auf w  α und w β gleichzeitig liegen. ➞ Es kann nur der Schnittpunkt I der beiden Winkelsymmetralen sein! Für I gilt nun: __ Ia =  __ Icund __ Ib =  __ Ic, daher ist auch __ Ia =  __ Ib. Deshalb ist klar, dass I auch auf der dritten Winkelsymmetrale w γ von a und b liegen muss (Begründungen dafür wirst du mit Aufgabe 856 geben). Weil dieser Punkt von allen drei Seiten a, b und c gleich weit entfernt ist, kann man mit ihm als Mit telpunkt einen Kreis zeichnen, der die drei Seiten jeweils in einem Punkt berührt. Dieser Kreis heißt Inkreis des Dreiecks und der Punkt heißt Inkreismittelpunkt I . In jedem Dreieck schneiden einander die drei Winkelsymmetralen in genau einem Punkt , dem Inkreismittelpunkt . Dieser Punkt ist von den drei Seiten gleich weit entfernt . Inkreismittelpunkt des Dreiecks Bevor man den Inkreis einzeichnet, konstruiert man die Normalen durch I auf die drei Seiten. So erhält man die Berührpunkte des Inkreises. Der Abstand des Punktes I von diesen Berührpunkten ist der Inkreisradius ρ (sprich „rho“). Mit dem Umkreismittelpunkt und dem Inkreismittelpunkt haben wir schon zwei mögliche Mittelpunkte bei Dreiecken gefunden! Zeichne zwei beliebige spitzwinklige und zwei beliebige stumpfwinklige Dreiecke! Konstruiere jeweils den Inkreismittelpunkt! Ermittle die Berührpunkte und zeichne mit ihrer Hilfe den Inkreis! Konstruiere das Dreieck ABC und seinen Inkreismittelpunkt! Ermittle die Berührpunkte und zeichne den Inkreis! Wie groß ist der Inkreisradius ρ ? a) a = 55mm b) b = 70mm c) a = 98mm d) a = 58mm b = 72mm α = 57° c = 67mm b = 85mm c = 76mm γ = 73° α = 106° β = 71° A B c C a b I w α w β α β A B c C a w γ w β w α b I ρ 798 D A O I 799 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum es Verlags öbv