Das ist Mathematik 2, Schulbuch

199 H5 Besondere Eigenschaften des Dreiecks 5 Besondere Eigenschaften des Dreiecks Wo ist der Mittelpunkt eines Dreiecks? Bei Figuren wie Kreis oder Quadrat ist völlig klar, wo der Mittelpunkt M ist. Zeichne in das neben stehende Quadrat den Mittelpunkt ein! Welche Eigenschaften hat der Mittelpunkt dieses Quadrats? Kreuze an! von allen Ecken gleich weit entfernt von allen Seiten gleich weit entfernt Schnittpunkt der Diagonalen Aber bei einem Dreieck ist das gar nicht so einfach! Zuerst müssen wir definieren, was man unter „Mittelpunkt“ verstehen will. Welche Eigenschaften hat er? Ein Dreieck hat ja zB keine Diagonalen. Wir werden sehen: Auch im Dreieck gibt es „Mittelpunkte“, die die oben genannten Eigenschaften erfüllen, aber im Allgemeinen nicht alle auf einmal! 5.1 Umkreismittelpunkt Erste Eigenschaft: Gibt es einen Punkt, der von allen Eckpunkten gleich weit entfernt ist? Auf Seite 176 hast du schon gelernt: • Alle Punkte, die von den Eckpunkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Streckensymmetrale s AB . • Alle Punkte, die von den Eckpunkten A und C gleich weit entfernt sind, liegen auf der Streckensymmetrale s AC . Ein Punkt, der von A, B, und C gleich weit entfernt liegt, muss also auf s AB und s AC gleichzeitig liegen. ➞ Es kann nur der Schnittpunkt U der beiden Streckensymmetralen sein! Für U gilt nun: __ UA =  ___ UBund __ UA =  ___ UC, daher ist auch __ UC =  ___ UB. Deshalb muss U auch auf der dritten Streckensymmetrale von B und C liegen (Begründungen dafür wirst du mit Aufgaben 717 und 857 geben). Weil der Punkt U von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist, kann man mit ihm als Mittelpunkt einen Kreis durch die Punkte A, B und C zeichnen. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks und der Punkt heißt daher Umkreismittelpunkt U ( ➞ rechte Figur). Sein Abstand von den Eckpunkten des Dreiecks ist der Umkreisradius r . A B c s AB s AC s BC C a b U r In jedem Dreieck schneiden einander die drei Streckensymmetralen der Dreiecksseiten in genau einem Punkt , dem Umkreismittelpunkt . Dieser ist von den drei Eckpunkten gleich weit entfernt . Umkreismittelpunkt des Dreiecks interaktive Vorübung x8r5qt AH S. 58 A B c C a b U s AC s AB Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv