Das ist Mathematik 2, Schulbuch

193 H4 Dreieckskonstruktionen Dreiecksungleichung Falls die beiden Kreisbogen bei der Konstruktion einander nicht schneiden, dann ist aus diesen Angaben kein Dreieck konstruier bar. Denkt man sich die drei Seiten eines Dreiecks als Wegstrecken, so erkennt man leicht, dass die geradlinige Verbindung von A nach B immer kürzer sein muss als der Umweg über C. In jedem Dreieck gelten daher die Dreiecksungleichungen : „Umweg über C“ A a b c B C „Umweg über A“ B b c a C A „Umweg über B“ C c a b A B a + b > c c + b > a a + c > b Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen. Wenn drei Seiten gegeben sind, ist das Dreieck also eindeutig konstruierbar , sofern die Drei ecksungleichungen erfüllt sind. Seiten-Seiten-Seiten-Satz (SSS-Satz) Bemerkung: Dieser Satz wird auch Kongruenzsatz genannt. Er garantiert die eindeutige Konstruierbarkeit eines Dreiecks. Hinweis Wenn die beiden Kreisbogen bei der Konstruktion einander schneiden, tun sie das im Allgemeinen zwei Mal! Es er geben sich also zwei Eckpunkte C und C 1 (siehe Graphik rechts). Die beiden Dreiecke ABC und ABC 1 sind deckungsgleich (kongruent), bei einem ist die Beschriftung im Uhrzeigersinn, bei dem anderen dagegen. In der Folge beschränken wir uns bei allen Konstruktionen auf jenes Dreieck, das die Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn hat. Konstruktion aus der Angabe der drei Winkel Gerald hat die drei Winkel des Dreiecks gemessen: α = 45°, β = 75°, γ = 60° und das Dreieck links gezeichnet. Monika möchte Gerald zeigen, dass seine Behauptung oben falsch ist und zeichnet ein Dreieck mit den gleichen Winkeln. Die beiden Bilder zeigen, dass Monika Recht hatte. Mit der Angabe der drei Winkel kann man ein Dreieck nicht eindeutig konstruieren ! Dazu ist zumindest eine Seitenlänge notwendig! A B a b c A B C C 1 Geralds Lösung: Monikas Lösung: A B C α β γ A B C α β γ N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv