Das ist Mathematik 2, Schulbuch

D1 Lösen von Gleichungen 101 Gleichungen wie x + 37 = 72 und z – 3,5 = 2,8 sind von der Form x + a = b bzw. x – a = b , wobei x in diesem Fall für die Unbekannte steht und a und b für irgendwelche Zahlen. Statt x werden oft auch andere Buchstaben verwendet wie y , z , n ,…. Gleichungen der Form x · a = b bzw. x  a = b ​ ( ​ x _ a ​ = b; a ≠ 0 ) ​ Auch Gleichungen mit einer Punktrechnung, also Gleichungen der Form x · a = b bzw. x  a = b , können wir durch Umkehrung der Rechenoperation lösen. Du kannst also den gesuchten Wert der Unbekann- ten finden, indem du eine Multiplikation durch eine Division , eine Division durch eine Multiplikation rückgängig machst. zB z · 6 = 54 ist gleichbedeutend mit z = 54  6 v  3 = 13 ist gleichbedeutend mit v = 13 · 3 Dies lässt sich auch graphisch veranschaulichen. z · 6 = 54 v  3 = 13 z z z = 54 z z z 13 13 = v 13 z = 54  6 v = 13 · 3 Statt v  3 können wir im Beispiel auch ​ v _ 3 ​ oder ​ 1 _ 3 ​ · v schreiben. Allgemein können wir Gleichungen der Form x  a = b auch als ​ x _ a ​ = b schreiben. Gleichungen der Form a – x = b bzw. a  x = b (x ≠ 0) Gleichungen, bei denen die Unbekannte als Subtrahend oder Divisor auftritt, sind etwas kniffliger. In der 1. Klasse haben wir bei der Probe festgestellt, dass Subtrahend und Differenz bzw. Divisor und Quotient jeweils vertauscht werden können: zB 15 – x = 8 ist gleichbedeutend mit 15 – 8 = x (da 15 – 7 = 8 und 15 – 8 = 7 ist) 12  x = 3 ist gleichbedeutend mit 12  3 = x (da 12  4 = 3 und 12  3 = 4 ist) Hinweis Ab nun schreiben wir an Stelle von „ist gleichbedeutend mit“ das Symbol É . Zusammenfassend gilt: x + a = b É x = b – a x · a = b É x = b  a (a ≠ 0) a – x = b É a – b = x x – a = b É x = b + a x  a = b É x = b · a (a ≠ 0) a  x = b É a  b = x ( x , b ≠ 0) Umkehroperationen Hinweis Gleichungen der Form 47 + s = 88 oder 9 · t = 108 können mit Hilfe des Kommutativgesetzes auf obige Form (s + 47 = 88 bzw. t · 9 = 108) gebracht werden. 1) Veranschauliche die Gleichung! 2) Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperation! 3) Führe die Probe durch! a) z + 7 = 11 c) e – 2,7 = 6,5 e) r – 127 = 748 b) s + 5,5 = 7,8 d) x + 37 = 189 f) v – 159 = 219 a) z · 2 = 9 c) 6 · t = 2,4 e) s · 5 = 4,5 b) v  2 = 4 d) x  3 = 5 f) a  6 = 42 z · 6 : 6 54 v : 3 . 3 13 D A O I 410 411 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv