Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

99 2�2 Teil BAufgaben 259 Rentabilität Die Rentabilität eines Unternehmens ist der Jahresgewinn dividiert durch das eingesetzte Produktivkapital, ausgedrückt in % p.a. Ein Unternehmen mit einem Marktanteil m (in %) des hergestellten Produktes hat die Rentabilität R(m) = ‒4m 2 + 3,2m – 0,28. Das Unternehmen kann mit seinen vorhandenen Kapazitäten einen Marktanteil von höchstens 80% realisieren. a. Sie sind von der Unternehmensleitung beauftragt, die Rentabilität in unterschiedlichen Aspekten zu untersuchen. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion R über einem ökonomisch sinnvollen Bereich. Bestimmen Sie jenen Marktanteil, bei dem das Unternehmen die größtmögliche Rentabilität erreicht. Zeigen Sie, dass sich die größtmögliche Rentabilität im arithmetischen Mittel der Nullstellen der Funktion R befindet. Ermitteln Sie die Höhe des Unternehmensgewinns beim höchst erreichbaren Marktanteil, wenn das eingesetzte Produktivitätskapital 10 Millionen Euro beträgt. b. Das Unternehmen weiß, dass es einen Marktanteil von 30% erreichen kann, und möchte einen Jahresgewinn von 320.000€ erwirtschaften. Dazu hat das Unternehmen jedoch eine um 20% zu gering eingesetzte Produktivität und möchte daher einen Kredit in dieser Höhe aufnehmen. Die Bank gewährt eine Annuitätenschuld, welche in 10 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% zurückgezahlt werden soll. Bestimmen Sie die Höhe der Annuität. Geben Sie die erste und letzte Zeile des Tilgungsplans an. c. Das Unternehmen produziert mit der Grenzkostenfunktion K’ mit K’(x) = 4,5x 2 – 2x + 4. Bei einem Output von 10ME sind die Gesamtkosten 2.000€. Bestimmen Sie die Stückkostenfunktion. 260 Produktionskapazität Ein Unternehmen möchte seine Produktionskapazität P (in Leistungseinheiten (LE)) im Laufe der Jahre beginnend mit dem Gründungsjahr 2000 (t = 0) analysieren. a. Um den Zusammenhang festzustellen, wird der Korrelationskoeffizient bestimmt. Bei der Analyse der ersten 16 Jahren ergibt sich, dass zwischen der Produktionskapazität und der Zeit keine Korrelation vorliegt. Argumentieren Sie, dass aufgrund der Erkenntnis nicht ausgeschlossen werden kann, dass ein Zusammenhang zwischen der Produktionskapazität und dem Jahr herrscht. b. Das Unternehmen hat alle zwei Jahre die Daten gesammelt. Jahr t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Produktionskapazität P(t) in LE 45 47 48 49 50 50 49 47 44 Erstellen Sie dazu ein Streudiagramm. Aufgrund des Streudiagramms sollen die Daten näherungsweise durch eine quadratische Funktion P mit P(t) = at 2 + bt + c dargestellt werden. Bestimmen Sie P näherungsweise mit quadratischer Regression. Interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß der quadratischen Regression. c. Nehmen Sie an, dass die Produktionskapazität durch die Funktion P mit P(t) =   30000 __  600 + (t – 8) 2 (t º 0) beschrieben wird. Argumentieren Sie ohne Hilfe der Differentialrechnung, dass die Produktionskapazität im Jahr 2008 am größten war. Zeigen Sie, dass die Produktionskapazität symmetrisch um t = 8 ist. Bestimmen Sie ungefähr die Produktionskapazität, die das Unternehmen nach sehr langer Zeit erreichen wird. Formen Sie P(t) =   30000 __  600 + (t – 8) 2 nach t um. A, B, R A, B, R N r zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv