Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

98 SRDPAufgaben 258 Lebensversicherung Beim Abschluss einer Lebensversicherung kommt der Sterbewahrscheinlichkeit als Berechnungsgrundlage eine besondere Bedeutung zu. Die Sterbewahrscheinlichkeit q(x) in der Tabelle gibt an, mit welcher Wahr scheinlichkeit ein Österreicher im Alter von x Jahren das nächste Jahr nicht überleben wird. Diese Werte sind den Sterbetafeln der Statistik Austria aus dem Jahre 2010/12 ent nommen, die alle 10 Jahre erstellt werden. a. Nach der aktuellen Sterbetafel von 2010/2012 scheint sich die Sterbewahr scheinlichkeit exponentiell zu entwickeln. Ermitteln Sie aus den Werten der Sterbetafel die Parameter a und q 0 der exponentiellen Sterbewahrscheinlich keitsfunktion q mit q(x) = q 0 ·a x . Interpretieren Sie im Sachverhalt, warum q 0 nicht dem Wert q(0) in der Sterbetafel entspricht. Aus der Sterbetafel erkennt man, dass man im Alter von _____ (1) _______ noch ______ (2) ______ . (1) (2) 30 Jahren eine Lebenserwartung von etwa 38 weiteren Jahren besitzt 40 Jahren mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1% das nächste Jahr nicht überlebt 60 Jahren mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1% zumindest 99 Jahre alt wird b. Ein 40-jähriger Österreicher schließt eine Lebensversicherung ab. Nach der aktuellen Sterbe tafel von 2010/2012 ist die Sterbewahrscheinlichkeit für einen Österreicher im Alter von 40 Jahren rund 0,00125. Erstellen Sie für die beschriebene Situation ein geeignetes Baumdiagramm unter der Annahme einer konstanten Sterbewahrscheinlichkeit für die nächsten 3 Jahre. Ordnen Sie unter der Annahme einer konstanten Sterbewahrscheinlichkeit den Ereignis sen die passende Wahrscheinlichkeit zu. Die Person stirbt innerhalb der nächsten drei Jahre. A 0,001 3 B 3·0,99875 2 ·0,00125 + 0,001 3 Die Person stirbt im 3. Jahr. C 0,00125 + 0,00125·0,99875 + 0,00125·0,99875 2 D 0,00125·0,99875 2 c. Zwei Österreicher im Alter von 20 und 30 Jahren beantragen den Abschluss einer Lebens versicherung. Argumentieren Sie, warum trotz bestem Gesundheitszustand beider Antragsteller bei gleicher Versicherungshöhe und gleicher Laufzeit eine unterschiedliche monatliche Prämie von der Versicherung anzusetzen ist. d. Ein 30-jähriger Österreicher möchte eine Lebensversicherung mit einer Versicherungsleistung von 250.000€ abschließen. Die monatliche Zahlprämie beträgt 482,09€. Abzüglich der Gewinnbeteiligung müsste der 30-Jährige monatlich 190,42€ an Prämie bezahlen. Er beschließt jedoch diesen Betrag monatlich auf ein Sparbuch einzubezahlen, das nach seinem Ableben den Erben zur Verfügung stehen soll. Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren den Erben ein Betrag von 250.000€ zur Verfügung stehen würde, wenn man von einer durchschnittlichen Verzinsung von 3% p.a. ausgeht. Beurteilen Sie anhand der ermittelten Zahlen, ob die Versicherungsvariante oder die Ansparvariante für den 30-Jährigen „günstiger“ kommt. A, B, R Sterbetafel 2010/2012 männlich Genaues Alter (am x-ten Geburtstag) in Jahren Sterbewahrscheinlichkeit im Altersintervall x bis x + 1 x q(x) 0 0,0039491 10 0,0000735 20 0,0007664 30 0,0006862 40 0,0012475 50 0,0036644 60 0,0102400 70 0,0219359 80 0,0607108 90 0,1818881 99 0,3764616 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv