Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

56 Kompetenztraining Regression Gegeben sind Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) und eine Funktion f: R ¥ R . Die Summe der Fehlerquadrate ist ​ ;  i = 1 ​  n ​ (f(x i ) – y i ) 2 ​. Bei Regression wird eine Funktion f gesucht, für die die Summe der Fehlerquadrate minimal ist. f: R ¥ R , f(x) = ax + b Diese Zahlen a und b sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​= ​ ;  ​  ​ x​ i ​​y​ i ​​ a ​ ;  ​  ​ x​ i ​​+ n·b = ​ ;  ​  ​ y​ i ​ . Es ist a = ​  ​ ;  ​  ​ x i  y i ​– n·​ _ x​·​ _ y​ ___ ​ ;  ​  ​ x i 2 ​– n·​ _ x​ 2 ​ und b = ​ _ y​– a·​ _ x​. Stichprobenkorrelationskoeffizient (Korrelationskoeffizient nach Pearson) r = ​  ​ ;  ​  ​ (​x​ i ​– ​ _ x​)​(​y​ i ​– ​ _ y​) ___   ​ 9 ___ _ ​ ;  ​  ​ (​x​ i ​– ​ _ x​) 2 ​ ​·​ 9 _ ___ ​ ;  ​  ​ (​y​ i ​– ​ _ y​) 2 ​​ ​· r ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit der beiden Merkmale. Je näher der Betrag † r † bei 1 ist, desto näher liegen die Punkte (x 1  , y 1  ), (x 2  , y 2  ), …, (x n  , y n  ) an der Regressionsgeraden. Für Korrela­ tionskoeffizienten † r † > 0,6 gilt der Zusammenhang als stark, für † r † > 0,8 sogar als sehr stark. Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten heißt Bestimmtheitsmaß . f: R ¥ R , f(x) = ax 2 + bx + c Diese Zahlen a, b und c sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  4 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​  3 ​+ c ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​= ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​ ​y​ i ​ a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  3 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​+ c ​ ;  ​  ​ x​ i ​​= ​ ;  ​  ​ x​ i ​​ ​y​ i ​ a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​​+ c·n = ​ ;  ​  ​ y​ i ​ . f: R ¥ R , f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Diese Zahlen a, b, c und d sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  6 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​  5 ​+ c ​ ;  ​  ​ x​ i ​  4 ​+ d ​ ;  ​  ​ x​ i ​  3 ​= ​ ;  ​  ​ x​ i ​  3 ​ ​y​ i ​ a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  5 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​  4 ​+ c ​ ;  ​  ​ x​ i ​  3 ​+ d ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​= ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​ ​y​ i ​ a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  4 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​  3 ​+ c ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​+ d ​ ;  ​  ​ x​ i ​​= ​ ;  ​  ​ x​ i ​​ ​y​ i ​ a ​ ;  ​  ​ x​ i ​  3 ​+ b ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​+ c ​ ;  ​  ​ x​ i ​​+ d·n = ​ ;  ​  ​ y​ i ​ . f: R ¥ R , f(x) = b·e ax a = ​  ​ ;  ​  ​ x i ·ln(y i )​– n·​ _ x​·​ ____ ln(y)​ _____  ​ ;  ​  ​ x​ i ​  2 ​– n·​ _ x​ 2 ​ ​ und ln(b) = ​ _ ln(y)​– a·​ _ x​ Summe der Fehlerquadrate Lineare Regression y x f Quadratische Regression y x f y x f Kubische Regression Exponentielle Regression y x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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