Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

54 Kompetenztraining Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Erwartungswert E(X) = ​ ;  i = 1 ​  n ​ p i x i ​ E(X) = ​ :  ‒ • ​  • ​ x·f(x) dx​ Varianz V(X) = ​ ;  i = 1 ​  n ​ p​ i ​(​x​ i ​– E(X)​)​ 2 ​ V(X) = E((X – E(X)) 2 ) = ​ :  ‒ • ​  • ​ (x – E(x)) 2 ·f(x) dx​ Verschiebungssatz: V(X) = E(​X​ 2 ​) – E(​X)​ 2 ​ Standardabweichung σ = ​ 9 ___ V(X)​ σ = ​ 9 ___ V(X)​ Zufallsexperiment mit n unabhängigen Einzelversuchen X … Zufallsvariable, die angibt, wie oft ein Ereignis E eintritt p … Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E P(X = k) = ​ 2  ​  n k ​  3 ​·p​ k ​·(1 – p​)​ n – k ​ E(X) = n·p, V(X) = n·p·(1 – p) σ = ​ 9 ______ n·p·(1 – p)​ μ … Erwartungswert; σ … Standardabweichung Dichtefunktion f der Normalverteilung N( μ ; σ 2 ): f(x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ ·​e​ ‒​  1 _ 2 ​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ ​ 2 ​ ​ Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung N(0; 1 2 ): φ( x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ ​ ·​e​ ‒​  x 2 _  2 ​ ​ Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung N(0; 1 2 ): Φ (z) = P(Z ª z) = ​ :  ‒ • ​  z ​φ (x) dx​ X ~ N(μ; ​ σ ​ 2 ​) w Z = ​  X – μ _ σ  ​ ~ N(0; 1 2 ) F(x) = Φ​ 2 ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ P(X ª a) = Φ​ 2 ​  a – μ _ σ  ​  3 ​ P(X º a) = 1 – Φ​ 2 ​  a – μ _ σ  ​  3 ​ P(a ª X ª b) = Φ​ 2  ​  b – μ _ σ  ​  3 ​ – Φ ​ 2  ​  a – μ _ σ  ​  3 ​ Der Graph der Dichtefunktion der Normalverteilung heißt Gaußsche Glockenkurve . Der Graph der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung sieht so aus: X ~ ​B​ n,p ​ w Erwartungswert µ = n·p; Standardabweichung σ = ​ 9 ______ n·p·(1 – p)​ Wenn σ > 3, bzw. σ 2 > 9 ist, so kann man die Verteilung von X durch die Normalverteilung N(µ; σ 2 ) approximieren. Es gilt (mit Stetigkeitskorrektur): P(X = a) ≈ Φ​ 2  ​  a + 0,5 – μ __ σ  ​  3 ​ – Φ​ 2  ​  a – 0,5 – μ __ σ  ​  3 ​ P(X ª a) ≈ Φ​ 2  ​  a + 0,5 – μ __ σ  ​  3 ​ P(X º a) ≈ 1 – Φ​ 2  ​  a – 0,5 – μ __ σ  ​  3 ​ P(a ª X ª b) ≈ Φ​ 2  ​  b + 0,5 – μ __ σ  ​  3 ​ – Φ ​ 2  ​  a – 0,5 – μ __ σ  ​  3 ​ Kenngrößen von Zufallsvariablen Binomial­ verteilung X ~ ​B​ n, p ​ Normal­ verteilung X ~ N(μ; ​ σ ​ 2 ​) x φ (x) 0 0,2 0,4 4 4 3 2 1 3 2 1 Approximation der Binomial­ verteilung durch die Normal ­ verteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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