Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

43 1�4 Analysis b. Bestimmen Sie die Ruhezeit der Radfahrerin in der zweiten Hälfte der Fahrtstrecke, wenn man davon ausgehen kann, dass sie immer ungefähr gleich schnell unterwegs war. c. Zeichnen Sie ein mögliches Verhalten der Radfahrerin in ein ZeitWegDiagramm. 127 Die Funktionen f und g sind auf dem Intervall [1; 4] definiert mit f(x) =   x 2 _  1 + x und g(x) =   x 2 – 4 _  2 + x . a. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem. b. Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die mittlere Steigung der Graphen in [1; 4]. 4�3 Ich kann die Regeln zum Berechnen von Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen, die aus diesen zusammengesetzt sind, verstehen und anwenden: Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Kettenregel� 128 a. Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen f die jeweilige Ableitung: I. f(x) = (x + 1)(x – 2) II. f(x) = xe 2 – e 2 III. f(x) = (x 2 + 1) 3 IV. f(x) = e x 3 b. Beschreiben Sie in Worten, wie groß der Grad der Ableitungsfunktion einer beliebigen Polynomfunktion ist. 129 Aus einer wissenschaftlichen Abhandlung ergibt sich die Polynomfunktion f mit f(x) = 3x 3 – 18x 2 + 33x – 18. a. Bilden Sie für die Polynomfunktion alle möglichen (auch höheren) Ableitungen. b. Zeichnen Sie die Graphen aller Ableitungsfunktionen von f. c. Argumentieren Sie, ab welcher höheren Ableitung der Polynomfunktion f diese immer 0 ist. 4�4 Ich kann Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, qualitatives Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren� 130 Ein Designer verwendet für seinen Entwurf die Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6. a. Zeichnen Sie den Graphen der Polynomfunktion f. b. Lesen Sie aus dem Graphen die Extremund Wendestellen ab. c. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Berechnen der Extremund Wendepunkte. d. Interpretieren Sie das Monotonieverhalten der Funktion f zwischen den beiden Extremstellen. e. Argumentieren Sie, warum die Funktion f auf jeden Fall eine Nullstelle besitzt. f. Berechnen Sie die Steigung der Tangente in dieser Nullstelle. 131 Ein weiterer Designer verwendet für seinen Entwurf die Polynomfunktion f mit f(x) =   1 _  50 x 4 –   17 _ 25 x 2 +   9 _ 2 . a. Zeichnen Sie die Polynomfunktion und die Ableitungsfunktion von f. b. Lesen Sie aus dem Graphen von f die Anzahl der Nullstellen ab. c. Argumentieren Sie, wie viele Wendepunkte die Funktion f besitzen muss. 4�5 Ich kann den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw� einer Stammfunktion interpretieren und erklären� Ich kann bei gegebenem Graphen einer Funktion den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion skizzieren� 132 Ein Werkstück wird durch zwei Potenzfunktionen f und g modelliert, deren Graphen nebenstehend abgebildet sind. Schraffieren Sie in der Grafik die Fläche, die durch das Integral :  0   3 (f(x) – g(x)) dx berechnet werden kann. B, R B, R A, B, R A, B, R A, B R x y 0 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 g f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv