Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

37 1�4 Analysis Anwendung Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t: v(t) = s’(t) Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t: a(t) = v’(t) = s’’(t) Die Tangente an den Funktionsgraphen einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle a ist der Graph der linearen Funktion t mit t(x) = f(a) + f’(a)·(x – a). f: R ¥ R ; g: R ¥ R ; f, g differenzierbar; c * R Summenregel (f + g)’ = f’ + g’ und (f – g)’ = f’ – g’ Faktorregel (c·g)’ = c·g’ Produktregel (f·g)’ = f’·g + f·g’ Quotientenregel ​ 2  ​  f _ g ​  3 ​ ’ ​= ​  f’·g – f·g’ __ g 2 ​ Kettenregel (f ° g)’ = (f’ ° g)·g’, also: für alle x ist (f ° g)’(x) = f’(g(x))·g’(x) f f’ f f’ c * R f(x) = c f’(x) = 0 x > 0; a > 0 f(x) = log a (x) f’(x) = ​  1 _  ln(a)·x ​ n * R f(x) = x n f’(x) = n·x n – 1 f(x) = sin(x) f’(x) = cos(x) f(x) = e x f’(x) = e x f(x) = cos(x) f’(x) = ‒ sin(x) a > 0 f(x) = a x f’(x) = ln(a)·a x f(x) = tan(x) f’(x) = ​  1 _  cos 2 (x) ​ x > 0 f(x) = ln(x) f’(x) = ​  1 _ x ​ Integralrechnung Eine Funktion F, deren Ableitung f ist (F’ = f) heißt Stammfunktion von f. Schreibweise: ​ :  ​  ​ f(x) dx​= F Ist F eine Stammfunktion von f, dann erhält man alle Stammfunktionen von f durch Addition von konstanten Funktionen zu F. f: R ¥ R ; g: R ¥ R ; f und g haben Stammfunktionen; c * R Summenregel ​ :  ​  ​ (f + g)(x) dx​= ​ :  ​  ​ f(x) dx​+ ​ :  ​  ​ g(x) dx​ ​ :  ​  ​ (f – g)(x) dx​= ​ :  ​  ​ f(x) dx​– ​ :  ​  ​ g(x) dx​ Faktorregel ​ :  ​  ​ (c·f)(x) dx​= c·​ :  ​  ​ f(x)dx​ Partielle Integration ​ :  ​  ​ (f·g’)(x) dx​= f·g – ​ :  ​  ​ (f’·g)(x) dx​ Tangente Differentiations­ regeln Ableitungen spezieller Funktionen Stammfunktion Integrations­ regeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv