Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

16 Kompetenztraining 2.9 Ich kann Probleme aus Anwendungsgebieten durch quadratische Gleichungen mit einer Variablen modellieren, reelle Lösungen quadratischer Gleichungen ermitteln und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und damit argumentieren. 40 Ein Wasserbehälter kann mittels der Zuflussrohre X und Y innerhalb von 12 Minuten gefüllt wer den, wenn beide Zuflüsse gleichzeitig in Betrieb sind. Wenn lediglich das Zuflussrohr X aktiviert ist, dauert die Befüllung 10 Minuten länger, als wenn die Befüllung des Behälters ausschließlich vom Zuflussrohr Y durchgeführt wird. a. Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der berechnet werden kann, wie lange Rohr X beziehungs weise Rohr Y alleine benötigt, um den Behälter zu füllen. b. Lösen Sie diese Gleichung, indem Sie sie in eine quadratische Gleichung umwandeln. 41 Die Grafik beschreibt den Weg eines Wasserstrahls aus dem Gartenschlauch. a. Wir nehmen an, dass diese Kurve der Graph einer quadratischen Funktion ist. Stellen Sie Gleichungen auf, mit denen die Koeffizienten dieser quadrati schen Funktion berechnet werden können. b. Stellen Sie diese quadratische Funktion auf. c. Erläutern Sie, welcher Definitionsbereich für die Funktion sinnvoll ist. 2.10 Ich kann Exponentialgleichungen vom Typ a k·x = b nach x auflösen. 42 Im Jahr 2010 hatte Nigeria ca. 105 Mio. Einwohnerinnen und Einwohner. Die Bevölkerungs entwicklung wird annähernd durch Funktion N beschrieben: N(t) = N 0 ·e 0,0237·t (N(t) … Bevölke rungszahl nach t Jahren; N 0 … Bevölkerungszahl im Jahr 2010; t … Zeit in Jahren) a. Berechnen Sie die Bevölkerungszahl, die nach dieser Funktion im Jahre 2020 zu erwarten wäre. b. Ermitteln Sie rechnerisch den jährlichen Prozentsatz der Veränderung der Bevölkerungszahl. c. Formen Sie die angegebene Funktionsgleichung nach den Jahren t der Bevölkerungsentwick lung um. Dokumentieren Sie Ihre Rechenschritte. d. Begründen Sie, warum man bei einer Umformung nach t den Logarithmus verwendet. 2.11 Ich kann Polynomgleichungen, Exponentialgleichungen und Gleichungen mit trigono metrischen Funktionen in einer Variablen mittels Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis interpretieren. 43 Für die Fallgeschwindigkeit v bei einem Fallschirmsprung unter der Annahme eines geschwin digkeitsproportionalen Luftwiderstandes gilt: v(t) =   m·g _  k  · 2 1 – e ‒  k _  m ·t   3 für t º 0. Dabei steht m für die Masse (Fallschirmspringer mit Fallschirm), g = 9,81m/s 2 für die Erdbeschleunigung und k > 0 für den Reibungsfaktor. Die Fallgeschwindigkeit nähert sich dabei dem Endwert v E =   m·g _ k  . a. Ermitteln Sie jene Fallzeit, die notwendig ist, damit der halbe Endwert erreicht wird. b. Argumentieren Sie, dass der Endwert nie erreicht werden kann. 44 Die Halbwertszeit τ einer radioaktiven Substanz ist der Zeitraum, in dem genau die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Atomkerne (N 0 ) zerfallen ist. Nehmen Sie das Zerfallgesetz in der all gemeinen Form N(t) = N 0 ·e ‒ λ t an. Bestimmen Sie, wie man daraus die Halbwertszeit τ berechnet. 45 In einem Produktionsbetrieb kann die Entwicklung der Kosten K in GE für x Stück durch die Funktion K(x) = x 3 – 10x 2 + 105x + 5000 beschrieben werden. Der Gewinn G lässt sich durch die Funktion G(x) = ‒ x 3 + 10x 2 + 1165x – 5000 beschreiben. a. Berechnen Sie die Anzahl der Stücke, die produziert werden können, wenn ein Budget von maximal 45.000€ zur Verfügung steht. b. Erklären Sie, was durch Lösen der Gleichung ‒ x 3 + 10x 2 + 1165x – 5000 = 0 im Sachzusam menhang berechnet wird. A, B 0 1 2 5 4 6 3 2 1 0 Weite in m Höhe in m A, B, R A, B, R A, B, R B A, B, R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv