Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

122 Lösungen 233� a� 16,95° b� D Es muss mit 3,6 multipliziert (nicht dividiert) werden. c� 8min nach ca. 1,3min nach ca. 2,7min und nach ca. 5,6min d� 400 Besucherinnen und Besucher Der Preis, der sich bei 100 Besucherinnen und Besuchern ergibt. 234� a� s 2 + R 2 = (R + h) 2 s 2 = (R + h) 2 – R 2 = = R 2 + 2hR + h 2 – R 2 = = 2hR + h 2 Da (bei kleinem h in km) h 2 vernachlässigt werden kann, gilt: s 2 ≈ 2hR Es wird von einem mittleren Erd radius von R = 6370km ausge gangen, der in Meter umgerech net werden muss, um die Sicht höhe h in Meter angeben zu kön nen. Die Sichtweite s (in km) ergibt sich dann aus der obigen Umformungen als Faustformel in Abhängigkeit von der Sichthö he h (in m): s ≈ 9 ___ 2hR= 9 __ 2R· 9 _ h= 3,57· 9 _ h ca. 170m b� 0,8256° c� 32,52° Zur Berechnung des Tiefenwinkels benötigt man den Tangens, also das Verhältnis der jeweiligen Gegenkathete zur Ankathete. Da die Gegenkathete bei beiden Quotienten dieselbe ist (Höhendifferenz zur Pfänderspitze), ist das betrachtete Verhält nis für Bregenz größer als für Lindau, weil die Entfernung zum Pfänder von Bregenz aus kleiner als von Lindau aus ist. Je grö ßer der Tangens eines Winkels ist, desto größer ist auch der Winkel selbst, da der Tangens zwischen 0 und 90° streng monoton steigend ist. Das ist der Grund, warum der Tiefen winkel, unter dem Bregenz gesehen wird, größer als der Tiefenwinkel ist, unter dem man Lindau vom Pfänder aus sieht. 235� a� um eine lineare Funktion b� Ja. Gleiche Durchschnittsgeschwindigkeiten bedeutet, dass Sie in gleichen Zeitabschnitten die gleichen Wegabschnitte zurücklegen. Dies ist der Fall, da sich die Funktionen in zwei Punkten schneiden, daher ist innerhalb des Zeitabschnittes der gleiche Weg zurückgelegt worden, somit sind die Durch schnittsgeschwindigkeiten gleich. Die gleiche Momentangeschwindigkeit ergibt sich, wenn die Momentangeschwindigkeit von Auto A (welche ja in allen Zeiten konstant ist) gleich jener von Auto B ist. Dies wird ermittelt, indem die gerade Funktion parallel verschoben wird, bis diese tangiert. c� Man sucht nach einer Stelle, an der die Tangente an den Graphen waagrecht ist. (Dort ist die Geschwindigkeit 0.) Die Wegfunktion von A ist eine lineare Funktion. Die zweite Ableitung (= Momentanbeschleunigung) ist 0. Die Autos sind dort voneinander am weitesten entfernt, wo der innere horizontale Abstand zwischen den beiden Kurven am größten ist. 236� a� Winkel zwischen 0rad und   π _ 2 rad bzw. zwischen 0° und 90°  π  _ 4 bzw. 45° b� 4,69m/s c� 1A; 2D 237� a� Wenn g eine Polynomfunktion vom Grad 3 ist, dann sind die Vorzeichen von g(x) und g(‒x) für sehr große x verschieden. Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen hat g also eine Nullstelle. Daher kann g als Produkt einer linearen und einer quadratischen Funktion geschrieben werden. Jede Null stelle des Produktes von zwei Funktionen ist eine Nullstelle eines der Faktoren. Eine quadratische Funktion hat höchstens zwei Nullstellen, daher hat g höchstens 2 + 1 = 3 Nullstellen. 1210m 2,28km 35,6° α R R s h Lindau Bregenz Pfänderspitze 6,24km 8,22km 2,47km 695m Zeit Weg t 1 t 2 Auto A Auto B Auto A Auto B entgegen gesetzte Richtung gleiche Richtung Zeit Weg größte Entfernung Auto A Auto B Zeit Weg Zeit Geschwindigkeit v B v A Auto A Auto B S α in rad Wurfweite in m 0 π /4 π /2 0 2 4 6 8 10 Nur zu Prüfzw ck n – Eigentum des Verlags öbv