Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

116 Lösungen 149� a� p mit p(x) = ‒0,5x + 350 b� c� [0; 700] d� Höchstpreis bei x = 0 w p = 350€/Stück e� 700 Stück f� Je höher der Preis ist, desto weniger wird abgesetzt. 150� a� K 1 ist nirgends degressiv; K 2 ist überall degressiv; K 3 ist degressiv auf [0; 4]; K 4 (x) ist nirgends degressiv b� K 1 ist überall progressiv; K 2 ist nirgends progressiv; K 3 ist progressiv auf [4; • ); K 4 (x) ist überall progressiv c� K 3 ist eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion, weil sie monoton wachsend und zunächst degressiv und dann progressiv ist. 151� a� Es muss überprüft werden, ob G(5) = 0 und G(45) = 0 ist (5 und 45 sind die Gewinngrenzen), die Funktion G erfüllt diese Eigen schaft. Zusätzlich muss G’(30) = 0 sein, auch dies ist erfüllt. b� Durch die Veränderung der Fixkosten wird der Graph nur parallel zur xAchse verschoben. Die gewinnmaximierende Stelle bleibt also gleich. 152� 2,8ME und 11,2ME 153� bei 5183ME 154� 2ME und 4,37ME 155� a� (7490 1 150,2) b� (4000 1 220) c� Der maximale Funktionswert wird entweder am Rand des Defini tionsbereichs oder an einer lokalen Maximumstelle angenom men. Der Graph der Gewinnfunktion ist eine nach unten offene Parabel und daher ist der Scheitelpunkt, falls er über dem Defini tionsbereich liegt, der Hochpunkt. Durch die Einschränkung des Definitionsbereiches durch eine Kapazitätsrestriktion kann aber der maximale Funktionswert an einer Stelle, die kleiner als die xKoordinate des Scheitelpunktes ist, angenommen werden. d� Die xKoordinate des Cournotschen Punktes ist die Stelle, an der der maximale Gewinn erzielt wird. Die Tangente an die Gewinn funktion an dieser Stelle ist entweder parallel zur xAchse oder der maximale Gewinn wird bei maximal möglicher Produktion erzielt. Die zweite Koordinate des Cournotschen Punktes ist der Funktionswert der Nachfragefunktion an dieser Stelle. 156� 2      p h __  2·(b + c)    1  p h – b·  p h __  2·(b + c)   3 157� a� maximaler Erlös bei 8ME; maximaler Erlös: 16GE b� maximaler Gewinn bei 7ME; maximaler Gewinn: 4,2GE c� d� 1 e� Falls sich die Produktionsmenge bei 6ME um 1ME erhöht, erhöht sich der Erlös um die Steigung der Tangente, nämlich um 1GE. 158� a� b� bei ca. 1200 Stück c� ca. 5.500GE d� Die Nullstellen der Gewinnfunktion legen die Gewinnzone fest. Zwischen diesen Nullstellen (Stückzahlen) erwirtschaftet der Betrieb Gewinn, außerhalb Verlust. e� Man liest den Funktionswert der Gewinnfunktion an der Stelle 100 ab: G(100) ≈ ‒5000 w ca. 5.000GE Verlust f� Für einige Zahlen x werden aus dem Graphen die Funktionswer te K(x) abgelesen. Die Punkte 2 x  1    K(x) _ x      3 werden dann eingetragen. Verbindet man diese Punkte, erhält man annähernd den Graphen der Stückkostenfunktion. 159� a� 150GE b� Der degressive Kostenverlauf geht in einen progressiven Kosten verlauf über. c� Je mehr Stück produziert werden, desto günstiger ist die Produk tion pro Stück. d� bei 6 Stück e� ca. 200GE f� Sind die Stückkosten minimal, befindet man sich im Gewinnbe reich. g� h� Die Erlösfunktion ist eine lineare Funktion. Am Steigungsdreieck ist der Stückpreis abzulesen: k =   Δ y _ Δ x š Stückpreis 160� a� 33GE b� 37 Stück c� 180GE d� Die Funktion beschreibt die Nachfrage nur bis zu ihrer kleineren Nullstelle sinnvoll. Danach wäre der Preis für eine gewisse Nach frage negativ, was dem wirtschaftlichen Denken widerspricht. e� Kleinere Nullstelle: Sättigungsmenge ist erreicht: 70 Stück; die größere Nullstelle hat für die Nachfragefunktion keine Bedeutung. 161� a� (400 1 6800) b� Die Kostenund Erlösfunktion werden gleichgesetzt. Die xKoor dinaten der Schnittpunkte geben die Gewinngrenzen an. c� Die Nullstellen geben die Gewinngrenzen an. 162� a� 12ME und 65ME b� 2539,20GE c� E 163� a� E mit E(x) = ‒0,07x 2 + 28x b� [0; 400] c� 2800GE d� 200 Stück e� Bestimme x, für das gilt: E’(x) = 0; E’’(x) < 0 w E(x) w maximaler Erlös x in Stück y in €/Stück 0 200 600 400 0 200 400 100 300 x in ME K, E in GE 20 4 6 10 12 14 16 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 E K T Stück Kosten, Gewinn, Erlös in GE 400 800 1200 1600 2000 0 10000 20000 10000 30000 50000 40000 G E K Stück Kosten, Gewinn, Erlös in GE Stückkosten in GE/Stück 200 300 350 400 450 21 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 0 50 0 100 150 250 G K E K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv