Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

115 Lösungen 130� a� b� Extremstellen: 1,4 und 2,6; Wendestelle: 2 c� Hochpunkt: (1,423 1 0,385); Wendepunkt: (2 1 0); Tiefpunkt: (2,577 1 ‒0,385) d� streng monoton fallend e� Die Funktion hat positive und negative Funktionswerte und ist stetig. Der Funktionsgraph hat also keine „Lücken“ und die Funktion nimmt jeden Funktionswert zwischen dem positiven und negativen Wert an. Somit muss f eine Nullstelle haben. f� ‒1 131� a� b� 4 Nullstellen c� f’’ ist eine quadratische Funktion mit 2 Nullstellen (siehe Grafik), daher hat f zwei Wendepunkte. 132� 133� :  ‒1     3 _ 2 f(x)dx= F 2    3 _ 2   3 – F(‒1) ≈ 1,7 134� a� F(x) =   1 _ 3 x 3 –   3 _ 2 x 2 b� F(x) =   1 _ 3 x 3 + 2x 2 – 5x c� F(x) =   a _ 4 x 4 –   b _ 3 x 3 +   c _ 2 x 2 – dx d� F(x) = 3 3 9 _  x 135� a� :  0   4 v(t)dt b� Untersumme = 73 ª :  0   4 v(t)dtª Obersumme = 76 136� C 137� a� Im Abstand von 4,57m und 6,57m. b� c� 4,68665m 2 138� 1A; 2B 139� 4960m 3 140� a� 180m/min b� s mit s(t) =   15 _ 4  t 4 – 50t 3 + 187,5t 2 c� 760m d� Zunächst ermittelt man mit der 1. Ableitung der Geschwindig keitsfunktion die Beschleunigungsfunktion. Die 1. Ableitung der Beschleunigungsfunktion wird 0 gesetzt. Damit erhält man den Zeitpunkt, zu dem die Beschleunigung maximal ist. Diese Zeit wird in die Beschleunigungsfunktion eingesetzt und man erhält die maximale Bremsverzögerung. 141� a� p N mit p N (x) = ‒  1 _  10 x + 180 b� 81.000GE c� Die Sättigungsmenge ist 1800ME und die erlösmaximierende Menge ist 900ME, daher liegt die Vermutung nahe, dass bei einer linearen Nachfragefunktion die erlösmaximierende Menge bei der halben Sättigungsmenge zu finden ist. 142� a� K mit K(x) =   1 _  50 x 3 – 2x 2 + 80x + 12000 b� c� Eine Veränderung der Fixkosten bedeutet eine Verschiebung des Graphen parallel zu xAchse. 143� a� K(x) = 0,9545x 3 – 11,5465x 2 + 58,9643x + 98,3939 b� Da K’(x) > 0 ist, ist K monoton steigend. K besitzt außerdem eine Kostenkehre (Übergang von degressiv auf progressiv), also ist K eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion. 144� a� K’(x) > 0 auf dem betrachteten Bereich [0; 400], daher gibt es keine Extrema. b� Die Kostenkehre ist bei 100ME. Hier geht der degressive in einen progressiven Kostenverlauf über. c� degressiv auf [0; 100); progressiv auf (100; • ) d� Fixkosten haben keinen Einfluss auf das Krümmungsverhalten und daher auch nicht auf die Kostenkehre. 145� Eine Kostenkehre ist dadurch definiert, dass es einen Übergang zwischen degressiv und progressiv gibt (oder umgekehrt). Daher kann es keine Kostenkehre bei einem nur progressiven oder nur degressiven Kostenverlauf geben. 146� Eine lineare Kostenfunktion hat keinen Wendepunkt und daher auch keine Kostenkehre. Die quadratische Kostenfunktion ist ent weder immer progressiv oder immer degressiv, daher kann es keine Kostenkehre geben. 147� a� K mit K(x) = 0,0037x 2 + 2,1386x + 6000 b� Wird kein Glas verkauft, so gibt es keine Einnahmen (Erlös = 0). c� 7,2GE d� G mit G(x) = ‒0,0037x 2 + 5,0614x – 6000 e� kein Gewinn möglich 148� a� K mit K(x) = 6·10 ‒10 x 3 – 3·10 ‒5 x 2 + 2,3935x + 14935 b� E mit E(x) = 9,80x c� Der Gewinn ergibt sich, wenn man von den Einnahmen (= Erlös) die entstandenen Kosten abzieht. Die Kostenfunktion muss von der Erlösfunktion subtrahiert werden: G = E – K d� Bei den Nullstellen der Gewinnfunktion ist der Gewinn gleich 0. Der Gewinn ist genau dann 0, wenn die Kosten gleich hoch sind wie der Erlös (= Einnahmen). Das entspricht dem Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen. x y 0 1 2 3 4 1 1 f W H T x y 0 2 2 4 4 6 4 6 2 2 f’’ f f’ x y 0 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 g f x y 0 4 4 8 8 4 f Produktion in ME Kosten in GE 0 80 40 160 200 120 0 40000 20000 60000 80000 K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv