Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

114 Lösungen 118� a� ca. 1600 Jahre c� nach ca. 5500 Jahren b� ca. 120ppb d� E 119� a� 249 Rehe b� 17 Jahre c� Die Funktionswerte N(t) von N sind immer kleiner als die Kapazi tätsgrenze, kommen ihr aber für große Zahlen t beliebig nahe. d� 120� a� t … Zeit in Stunden (h); m(t) … Biomasse in Gramm (g) nach t Stunden lineares Wachstum: m(t) = 0,8745·t + 6,7909 exponentielles Wachstum: m(t) = 9,9983·e 0,03·t b� Beim exponentiellen Wachstum würde die Biomasse in der Nähr stofflösung auf Dauer immer stärker anwachsen. Ab einem gewissen Zeitpunkt ist die Nährstofflösung jedoch gesättigt und damit wird das Wachstum gebremst. 121� a� Der Kapitalwert ist 14.584,80€. Da dieser positiv ist, ist der Kauf der Maschine vorteilhaft. b� Der interne Zinssatz ist 13,48%. Da dieser größer ist als der Kalkulationszinssatz, ist der Kauf der Maschine vorteilhaft. c� Der modifizierte interne Zinssatz ist 9,6%. Da dieser größer ist als der Kalkulationszinssatz, ist der Kauf der Maschine vorteilhaft. 1�4 Analysis 122� a� stetig, der Graph hat keine Sprungstellen b� stetig, der Graph hat keine Sprungstellen c� nicht stetig, der Graph hat eine Sprungstelle an der Stelle 0 d� stetig, der Graph hat auf seinem Definitionsbereich keine Sprungstellen. Die Stelle 0 ist nicht im Definitionsbereich. 123�   lim    x ¥  ± • 2    1 _  1 + x 2   3 = lim     x ¥  ± • 2      1 _  x 2 _    1 _  x 2 –   x 2 _ x 2   3 = lim     x ¥  ± • 2      1 _  x 2 _    1 _  x 2 – 1   3 = ‒  0 _ 1 = 0 Daher ist die xAchse eine Asymptote der Funktion f. Der Graph berührt die xAchse an keiner Stelle, kommt ihr aber beliebig nahe. 124� a� stetig auf R c� stetig auf R b� stetig auf R d� stetig auf R 125� a� D b� 310GE c� d� Änderungsrate im Intervall [5; 10]: 5 Änderungsrate im Intervall [10; 20]: 310 e� Die Kosten steigen um 21GE, das ist die Steigung der Tangente an der Stelle 10. f� (1) keinen Tiefpunkt, (2) f’(x) = 0 und f’’(x) > 0 126� a� 25km/h c� b� 30min 127� a� b� k f = 0,9; k g = 1 128� a� I� f’(x) = 2x – 1 III� f’(x) = 6x(x 2 + 1) 2 II� f’(x) = e 2 IV� f’(x) = 3x 2 e x 3 b� Der Grad der Ableitung einer Polynomfunktion ist um 1 kleiner als der Grad der Polynomfunktion. 129� a� f’(x) = 9x 2 – 36x + 33 f’’(x) = 18x – 36 f’’’(x) = 18 Alle weiteren Ableitungen sind 0. b� c� Da der Grad der Ableitungsfunktion immer um 1 kleiner als der Grad der Polynomfunktion selbst ist, kann man jede Polynom funktion zumindest nmal ableiten. Ab der n + 1ten Ableitung erhält man immer die Nullfunktion. t in Jahren Anz. der Rehe nach t Jahren 0 40 20 120 140 80 100 60 0 400 800 200 600 1000 x y 0 2 4 2 4 4 8 4 f x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 x y 0 2 3 1 1 3 2 2 1 3 1 3 2 f x y 0 3 2 1 2 1 3 2 1 3 1 2 3 f Produktion in ME Kosten in GE 5 0 10 15 25 20 0 300 150 450 600 K Zeit in Stunden Weg in km 0 10 20 30 40 50 1 1,5 2 0,5 0 x y 0 2 2 g f ∆x ∆y ∆x ∆y x y 0 2 3 4 1 16 8 8 24 f f’ f’’ f’’’ f (4) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv