Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

112 Lösungen c� I� gerade; II� weder gerade noch ungerade; III� ungerade; IV� ungerade d� 1B; 2D 69� a� b� Extremstellen: 1,42 und 2,58; Wendestelle: 2 c� streng monoton fallend d� Polynomfunktionen mit ungeradem Grad besitzen jedenfalls eine Nullstelle. 70� a� I� 2785 Bakterien II� 77604 Bakterien III� 1301990616633 Bakterien b� explizit: Die Anzahl der Bakterien nach t Stunden ist N(t) = 100· 2  5 9 _ 2  3 t . rekursiv: N(0) = 100, N(t) = N(t – 1)· 5 9 _ 2 c� Die explizite Darstellung lässt sich zum Beispiel direkt in einen Taschenrechner eingeben. Für ein Tabellenkalkulationsprogramm ist eventuell die rekursive Darstellung besser geeignet. d� (1) prozentuell, (2) pro Stunde vom vorhandenen Wert abhängig 71� a� D b� N(t) = N 0 ·e ‒ λ t ; λ = 4,0822·10 ‒4 c� Die durchschnittliche Zerfallsrate bis zur Halbwertszeit kann aus dem Zerfallsgesetz abgeleitet werden. Dazu ermittelt man aus der Zerfallskonstanten λ die Halbwertszeit τ = –  ln(0,5) _ λ  . Aus dem Steigungsdreieck ermittelt man den Differenzenquotienten   y τ – y 0 _ τ  = ‒  1 _  2 τ =   λ _  ln(0,25) . d� e� 11281,1 Jahre 72� a� λ = 0,2079 b� beschränkte exponentielle Abnahme c� sofort: nach 5,59min; nach 3min: nach 4,42min d� 73� a� I� Wenn f eine lineare Funktion ist, dann ist f(t + 1) – f(t) = k, also für alle t gleich. II� Wenn f ein Vielfaches einer Exponentialfunk tion mit Basis a ist, dann ist f(t + 1) – f(t) = d·a t + 1 – d·a t = = d·a t (a – 1) = (a – 1)f(t), die Zuwachsrate f(t + 1) – f(t) ist also immer das (a – 1)Fache des Funktionswertes f(t). b� I� Der Zuwachs in einer Zeiteinheit ist für alle Zeitpunkte gleich. II� Der Quotient „Zuwachs   f(t + 1) – f(t) __  f(t)  “ ist für alle Zeitpunkte gleich. c� Wegen k = e ln(k) ist N(t) = N 0 ·e ln(k)t . 74� a� K mit K(x) =   3 _  40 x 2 +   1 _ 2 x + 5000 b� 254,89 Komplexitätspunkte c� BreakEvenPoint: 95,54€; obere Gewinngrenze: 697,79€ d� Weil ab der oberen Gewinngrenze die Erstellung mit Verlust verbunden ist. 75� a� 2,123% b� 2025 werden in Indien 1,624 Milliarden Menschen leben, in China nur 1,456 Milliarden. c� noch vor 2018: 1,39 Mrd. Menschen d� 76� Nach 5 Jahren beträgt das Kapital von Herrn Vorsichtig 6.000€, während Frau Umsichtig ein Kapital von 5.996,68€ besitzt. Bereits einen Monat später dreht sich der Vorteil zu Gunsten von Frau Umsichtig, die dann über ein Kapital von 6.101,74€ verfügt. 77� D 78� Da der auf dem Einheitskreis liegende Punkt P die Koordinaten x = cos( α ) und y = sin( α ) besitzt und die Länge der Hypotenuse r genau einer Längeneinheit beträgt, entspricht sin( α ) der Länge der Gegenkathete a und cos( α ) der Länge der Ankathete b. 79� Legt man im Schnittpunkt des Einheitskreises mit der positiven xAchse eine Tangente an den Einheitskreis, so entspricht der Tangens des Winkels genau der yKoordinate des Schnittpunkts der Tangente mit der Geraden, die mit der xAchse den Winkel α einschließt. 80� Die Punkte (cos( α ) 1 sin( α) ) liegen für 180° < α < 270° im III. Quadran ten, also ist sowohl sin( α ) als auch cos( α ) negativ. 81� 24.464,8€ 82� 13,6% p.a. 83� a� 19.052,75€ b� 27.979,61€ 84� a� 16.075,70€ b� 18.188,18€ 85� a� 25.000€ b� 1,22% p.a. c� Jedes Jahr wird der Wert vom Vorjahr mit demselben Faktor (= Aufzinsungsfaktor) multipliziert. 86� a� b� Es ist unwahrscheinlich, dass der Zinssatz für die Dauer von 20 Jahren immer gleich bleibt. x y 0 1 2 3 4 1 1 f t in Jahren Anz. der RadiumIsot. in % 0 2000 6000 8000 10000 12000 4000 0 40 20 60 80 100 t 3 t S t in min Temp in °C 2 0 10 8 0 40 20 30 60 100 80 Milch sofort Milch nach 3 min Jahre ab 2011 2021 2015 2017 2019 2013 2011 Bevölkerung in Mrd 1 0 2 3 5 6 7 8 9 10 4 1 1,2 1,4 1,6 f g α x y tan( α ) B C x y α B (cos( α ) 1 sin( α )) Zeit in Jahren 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 0 RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR (insgesamt 40 Zahlungen) €52.500 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv