Mathematik anwenden HAK/HUM Formelsammlung

Differentialrechnung 13 9 Differentialrechnung 9.1 Differenzenquotient Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate)   f(b) – f(a) ___ b – a Der Differenzenquotient über [a; b] der Funktion f über dem Intervall [a; b] ist die Steigung der Sekante durch die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) des Graphen von f. Anwendung Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ]: i v=   s(t 2 ) – s(t 1 ) ___ t 2 – t 1   Durchschnittsbeschleunigung im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ]: i a=   v(t 2 ) – v(t 1 ) ___ t 2 – t 1   9.2 Differentialquotient Differentialquotient (Grenzwert des Differenzenquotienten) Eine Funktion f: M ¥ R heißt in a * M differenzierbar , wenn der Differential quotient f’(a) =  lim    z ¥ a   f(z) – f(a) __  z – a  = lim    h ¥ 0   f(a + h) – f(a) ___ h existiert. Diese Funktion heißt differenzierbar , wenn sie in jedem Element von M differenzierbar ist. Die Funktion f’ heißt dann Ableitung von f. Ist auch f’ differenzierbar, dann heißt f’’ = (f’)’ die zweite Ableitung von f. Statt f’(a) wird auch   df _  dx (a) oder   df _  dt (a) oder   df _ dz (a) oder … geschrieben. Anwendung Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t: v(t) = s’(t) Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t: a(t) = v’(t) = s’’(t) Tangente Die Tangente an den Funktionsgraphen einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle a ist der Graph der linearen Funktion t mit t(x) = f(a) + f’(a)·(x – a). Die lineare Funktion t heißt lineare Näherung der Funktion f an der Stelle a. y x 0 f(a) f(b) b a f(b) – f(a) b – a f (a 1 f(a)) (b 1 f(b)) (b 1 f(a)) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv