Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch

Starten Starten Lernen Lernen Verbinden Verbinden Zusammenfassen Zusammenfassen Überprüfen Überprüfen Körper –Drehzylinder,Drehkegel,Kugel 8 Satz vonCavalieri WelcherZylinderausMünzenhatdasgrößereVolumen? BegründedeineAntwort. A DasVolumen vonZylinderA istgrößer. B DasVolumen vonZylinderB istgrößer. C BeideVolumina sindgleichgroß. Begründe,warumbeideKörper jeweilsdasgleicheVolumenhaben. EineHalbkugel (r 1 = 10cm)wird inderHöheh=6cmgeschnitten. Berechneden FlächeninhaltderentstandenenKreisfläche. FrästmanauseinemZylinder (r=h = 10cm)einenKegelmit gleichemRadiusundgleicherHöheund schneidet ihn inder Höhe von6cm, soerhältmaneinenKreisringalsSchnittfläche. a) Berechneden FlächeninhaltdesKreisringes.Was fälltdirauf? b) BeweisenachdemSatz vonCavalieri,dassdieHalbkugeldas gleicheVolumenwiederausgefrästeZylinderhat. ZylinderA ZylinderB 885 I3,H3,K2 DerSatz vonCavalieri ZweiKörpergleicherHöhehabendasgleicheVolumen,wenn jedeSchnittebeneparallel zurGrundebene ingleicherSchnitthöhebeiderKörperdengleichen Flächeninhalthat. BonaventuraFrancescoCavalieri (1598–1647) lebte in Italien. ErwarMathematikerundAstronom. Vorallembeschäftigteer sichmitderGeometrieund lehrtean derUniversität inBologna. 886 I3,H3,K2 a) b) c) h r 2 r 1 887 I3,H2–3,K3 6cm 4cm h r h 888 I3,H2–3,K3 Zusammenfassung Drehzylinder •DasVolumenergibt sichaus Grundfläche xHöhe. V =G ∙h •DieOberflächebestehtausden zwei GrundflächenunddemMantel. O=2 ∙ r 2 ∙π+2 ∙ r ∙π ∙h O =2 ∙ r ∙π ∙ (r+h) Drehkegel •DasVolumenergibt sichausein Drittel xGrundfläche xHöhe. V = G ∙h ___ 3 = r 2 ∙π ∙h _____ 3 •DieOberfläche istdieSummeaus GrundflächeundMantelfläche. O= r 2 ∙π+ r ∙π ∙ s O= rπ ∙ (r+ s) Kugel •DasVolumeneinerKugel ist zweiDritteldes VolumensdesumschließendenZylinders. V = 4 ∙ r 3 ∙π _____ 3 •FürdieOberflächegilt: O = 4 ∙ r 2 ∙π ZusammengesetzteKörper •DasVolumen von zusammengesetzten Körpernerrechnet sichausderSumme derEinzelvolumina. •DasVolumen vonausgehöhltenKörpern berechnetmanalsDifferenzderEinzel­ volumina. •DieOberfläche zusammengesetzteroder ausgehöhlterKörper lässt sichalsSumme derEinzelflächenberechnen. r r G G h h r = 2cm,h= 4cm V= 4 ∙π ∙4 = 16πcm 3 O =2 ∙2 ∙π ∙ (2+ 4)= 24πcm 2 r =3m;h =4m s= √ _______ 3 2 +4 2 = √ ___ 25= 5m V = 3 2 ∙π ∙ 4 ______ 3 = 12πm 3 O =3 2 ∙π+ 3 ∙π ∙5 =24πm 2 M s s G r h S M r r= 2cm V = 4 ∙ 2 3 ∙π _____ 3 = 32 __ 3 πcm 3 O =4 ∙2 2 ∙π= 16πcm 2 d = 8cm r= 4cm Mantellinie: s= √ _______ 4 2 +3 2 =5cm V= 4 2 ∙π ∙3 − 1 _ 3 ∙4 2 ∙π ∙ 3 = 2 _ 3 ∙ 16 ∙π ∙ 3 = 32πcm 3 O =4 2 ∙π +2 ∙π ∙ 4 ∙ 3+ 4 ∙π ∙5 = 60πcm 2 8cm 3cm 172 173 Ó GZ- Arbeitsblatt 7tc4ec Starten Starten Lernen Lernen Verbinden Verbinden Zusammenfassen Zusammenfassen Überprüfen Überprüfen Körper –Drehzylinder,Drehkegel,Kugel 8 BasisundPlus–Daskann ich! BerechnedieOberflächedesKörpers. BerechnedasVolumendesKörpers. a) Drehzylinder: r = 2,2m;h = 4m b) Drehkegel:d =6,5cm; s=7,4cm c) Kugel: r = 1,25m Corinabastelteinen kegelförmigenPapierhut. DerUmfangderÖffnungmisst 58cm,dieHöhebeträgt 40cm. Wie vielMaterialbraucht siedafür? a) Wie viel LiterWasser fasstdie kegelförmige Blumenvase? b) Emma leertdasWasser indie zylinder­ förmigeVaseum. Wiehoch stehthierdasWasser? BerechnedasVolumenunddieOberflächedes zusammengesetztenKörpers. Ich kanndieOberflächeunddasVolumen vonDrehzylinder,Drehkegelund Kugelberechnen. 889 I3,H2,K1 7,4cm 32cm 0,86m 10,8cm 54cm a) b) c) 890 I3,H2,K1 Ich kannSachaufgaben zurOberflächeund zumVolumen vonDrehzylinder, DrehkegelundKugel lösen. 891 I3,H2,K2 18cm 14cm 32cm 32cm 892 I3,H2,K2 2,5 7,8 Maße inm 10,5 Ich kannVolumenundOberfläche von zusammengesetztenKörpernberechnen. 893 I3,H2,K2 BestimmedasVolumenderbeidenKörper. a) Drehzylinder: r= 3,5cm;h= 17cm b) Drehkegel:d= 8,5cm; s = 14cm c) WiegroßmussderRadiusdesDrehkegels beigleichbleibenderHöhegewähltwerden, damitdiebeidenKörper volumengleich sind? EineKugelausMarmor ( ρ = 2,68g/cm 3 )hateinen Umfang von 163,4cm. a) BerechnedieMassederKugel. b) KönntestdudieKugel tragen,wenn sieaus Kork ( ρ =0,51g/cm 3 )wäre? c) DieKorkkugel soll verpacktwerden. WelcheGrößemussderKartonmindestenshaben? Armin ist LehrlingunderhältdenAuftrag,eine zylinderförmigeDose füreinen Inhalt von 0,75 Liter zuentwerfen. KreuzediebeidenAngabenan,diedieBedingungenamehestenerfüllen. A r= 4,9cm,h = 10cm D r =7cm;h= 4,9cm B r= 4,5cm;h = 8cm E r= 55mm;h=65mm C r = 8,5cm;h =4cm DerZementsiloeinerBaufirmabestehtauseinemDrehzylinderundeinemDrehkegel. a) Wie vielm 3 Zement könnendaringelagertwerden? b) DerSilowirdaußenneugestrichen.Ein Farbkanister reicht für 50m 2 Anstrich.Wie vieleKanisterbrauchtman? c) Wie langedauerteine vollständigeEntleerungdesSilos, wennproSekunde 10dm 3 Zementausfließen können? d) DerSilo ist leer.ErwirdmiteinerGeschwindigkeit von 50dm 3 proSekundegefüllt. Welcherder folgendenGraphen zeigt,wie sichdieHöhe deseingefülltenZementsmitderZeit verändert? 894 I3,H2,4,K3 7cm 17cm s d 895 I3,H2,4,K3 896 I3,H2–3,K3 897 I3,H2–4,K3 1,75m 2,2m 4,5m 1 2 3 4 5 174 175 M Arbeitsheft Seite79/80 Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Diese Seiten helfen dir, den Lernstoff des Kapitels zu wiederholen und zu üben sowie deine Kompetenzen zu erweitern und zu vertiefen. Auf der Seite Zusammenfassung hast du den Überblick zum Kapitel. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Graphiken. Verbinden Überprüfen Zusammenfassen Schritt für Schritt Mathematik-Codes Hier findet deine Lehrerin/dein Lehrer passgenaue Verweise auf Online-Zusatzmaterial. www.oebv.at Begriff/Online-Link/Code Website aufrufen. Den im Schulbuch eingedruckten Code in das Suchfeld auf www.oebv.at eingeben. kostenloses Zusatzmaterial Ó GZ-Arbeitsblatt u28w5w 3 Nur zu Prüfzwecken 2 2 c 4 4 3 3 4 4 4 4 4 4 K b K b D D – Eigentum des Verlags g g öbv