Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Beispiel 5.21 Verbinde die Kurve p und die Strecke q mit einer Regelfläche (Orientierungen A → B, C → D). Die Kurve p ist eine B-Splinekurve vom Grad 3. Die oben liegenden Kontrollpunkte teilen die Flächendiagonale des Würfels im Verhältnis 1 : 3 : 1. a) Erzeuge q als gewöhnliche Strecke AB. b) Erzeuge q als B-Splinekurve vom Grad 3 mit dem Kontrollpolygon AUVB, wobei sich die Längen von AU, UV und VB wie 1 : 3 : 1 verhalten. Fig. 5.52a Fig. 5.52b y z x p q A B U V x y z D C  Fig 5.52a Hinweise: 1 Zeichne jeweils die Randlinien p und q und verbinde sie mit einer Regelfläche. 2 Die zweite Lösung ist „schöner“ (rechter Grundriss): Hier sind p und q zwei B-Splinekurven mit gleich vielen Kontrollpunkten und demselben Grad, wobei die Verbindungsstrecken entsprechender Kontrollpunkte jeweils parallel zur yz-Ebene sind. Dies hat zur Folge, dass alle Erzeugenden parallel zur yz-Ebene sind. Fig. 5.52a Fig. 5.52b y z x p q A B U V x y z D C  Fig 5.52b  Fig 5.53b Beispiel 5.22 Eine lotrechte Strecke AB rotiert um eine lotrechte Achse a; gleichzeitig dreht sie sich in der Verbindungsebene mit a um ihren Halbierungs- punkt H mit halber Geschwindigkeit. Bei dieser Bewegung überstreicht die Strecke AB eine Regelfläche. Diese Fläche hat nur eine Seite und ist ein Beispiel für ein Möbiusband. a) Approximiere eine derartige Regelfläche. Verwende AB [A(10|0|–3), B(10|0|3)] als Ausgangsstrecke und die z-Achse als Drehachse. b) Visualisiere die Regelfläche, wobei die Randkurve und einige Erzeugende als dünne Rohre auszuführen sind. Fig. 5.53a a A B H B H A  Fig 5.53a Hinweise: 1 Erzeuge zuerst die rechte Hälfte der Fläche. Platziere dazu etwa neun weitere Lagen der Strecke AB. Drehe zuerst AB um H in der xz-Ebene (um 10°, 20° usw.) und drehe dann die gedrehten Strecken um die z-Achse (um 20°, 40° usw.). 2 Lege eine Fläche durch die zehn Erzeugenden; sie approximiert die gewünschte Fläche ausreichend genau. Erzeuge dann die linke Hälfte der Fläche durch zwei Spiegelungen oder eine Drehung. 5.6 Regelflächen 99 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv