Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Klassische Flächen im CAD 5 5.6 Regelflächen Bewegt man eine Gerade, so überstreicht sie eine Regelfläche . Die einzelnen Geraden nennt man die Erzeugenden der Regelfläche. In der Architektur werden Regelflächen gerne verwendet, da gerade Linien leicht realisiert werden können. Die Zylinderflächen und die Kegelflächen sind die einfachsten Beispiele für Regelflächen. Drehregelflächen und Schraubregelflächen hast du schon in Kap. 5.3 und 5.4 kennen gelernt. In Fig. 5.51 sind zwei Möglichkeiten zum Herstellen einer Regelfläche illustriert. Deine Software sollte beide Möglichkeiten (exakt oder näherungsweise) realisieren können. • Die beiden Randkurven p und q sind bekannt (links): Die Erzeugenden ergeben sich automatisch aufgrund der Parametrisierungen von p und q. Dies kann ein Vorteil sein (du brauchst dich um die Erzeugenden nicht zu kümmern), aber auch ein Nachteil (du kannst ihre Lage nicht steuern). • Einige Erzeugende sind bekannt (rechts): Eine Regelfläche wird durch diese Erzeugenden gelegt. Sie stimmt mit der gewünschten Regelfläche näherungsweise überein, wobei die Genauigkeit von der Anzahl der Erzeugenden abhängt. Fig. 5.49 illustriert eine Möglichkeit zum Festlegen einer Regelfläche mit Hilfe zweier Kurven p und q: Im Zeitintervall von 0 bis 1 bewegt sich ein Punkt P auf p von A nach B und ein Punkt Q auf q von C nach D. Die Gerade PQ überstreicht eine Regelfläche. Fig. 5.49 D B P C Q A p q  Fig 5.49 Die Kurven p und q legen die Regelfläche nicht eindeutig fest. Wenn man die Bewegungen von P und Q im Zeit­ intervall von 0 bis 1 ändert, so ändert sich auch die Regelfläche. Im CAD entspricht jedem Punkt einer Kurve ein Parameterwert ; dies ist eine Zahl aus dem Intervall [0,1]. Unter der Parametrisierung einer Kurve versteht man die Zuordnung der Zahlen aus dem Intervall [0,1] auf die Punkte der Kurve. Wenn eine durch zwei Kurven p und q begrenzte Regelfläche erzeugt wird, so werden die zum jeweils gleichen Parameterwert gehörenden Punkte P und Q verbunden. Auch zwei Strecken AB und CD können durch unendlich viele Regel­ flächen verbunden werden. Die einfachste Verbindungsfläche ist die HPFläche ( Fig. 5.50). Hier werden P und Q mit jeweils konstanter Geschwindigkeit von A nach B bzw. von C nach D bewegt. Beachte, dass die Punkte P und Q die Strecken AB und CD jeweils im selben Verhältnis teilen. Diese Flächen werden in Kap. 5.8 ausführlich behandelt. Es lässt sich zeigen, dass sie hyperbolische Paraboloide sind (vgl. Kap. 5.5). Fig. 5.50 A P B C Q D  Fig 5.50 Fig. 5.51 p q A B C D A B C D p q A B C D  Fig 5.51 Wenn du eine Regelfläche renderst, wirst du vom Ergebnis vielleicht enttäuscht sein. Beim Rendern wird jede Fläche von der Software automatisch trianguliert (in Dreiecke zerlegt). Bei einer Regelfläche ist diese Triangulierung un- günstig, da die von benachbarten Erzeugenden gebildeten windschiefen Vierecke in jeweils zwei langgestreckte Dreiecke zerlegt werden. Dies resultiert in oft deutlich zu sehenden Streifen. Du kannst diesen unschönen Effekt durch (mehrfaches) Splitten der Regelfläche weitgehend beseitigen. Def  Def  Def  L 104 L 96 98 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv