Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

1.3 Konturen und Umrisse Da die Zentralprojektion nicht parallelentreu ist, kann sie auch nicht teil- verhältnistreu sein. Fig. 1.13 zeigt dies anhand der Projektion eines Recht- ecks. Der Punkt M halbiert die Diagonalen des Rechtecks, der Bildpunkt M c halbiert die Diagonalen des Bildvierecks aber nicht. Die Gerade g in Fig. 1.13 ist parallel zur Bildebene p ; daher ist die Bild­ gerade g c parallel zu g. Für diese Gerade ist die Zentralprojektion teil­ verhältnistreu, wie du aus dem Strahlensatz erkennst. O F B A T M c B c T c A c M p g c g Fig. 1.13  Fig 1.13 Auch bei der Zentralprojektion unterscheiden wir bei Geraden und Ebenen drei Lagen: die allgemeine Lage (weder parallel zu p noch durch O gehend), die Hauptlage (parallel zu p ) und die projizierende Lage (durch O gehend). Fig. 1.14 illustriert diese Lagen für eine Ebene. Beschreibe unterschiedliche und gemeinsame Eigen­ schaften von Parallel- und Zentralrissen ebener Objekte anhand von Fig. 1.11 und Fig. 1.14. Fig. 1.14 p O p O p O  Fig 1.14 1.3 Konturen und Umrisse Bildet man ein Objekt ab, an dem nur ebene Flächen auftreten, so reichen die Bilder von sichtbaren (und ver­ deckten) Kanten zur Darstellung aus. Bei einem Objekt, an dem auch krumme Flächen auftreten, ist die Situation etwas komplizierter. Hier kommen Flächentangenten und Tangentialebenen ins Spiel. Wenn du mit diesen Begriffen nicht vertraut bist, kannst du dich in Kap. A informieren. Wir führen die folgenden Überlegungen anhand der Parallelprojektion durch; sie gelten sinngemäß auch für die Zentralprojektion.  Fig. 1.15 zeigt die Projektion eines Kegelstumpfs und eines Torus. Hier gibt es projizierende Geraden, welche die begrenzenden Flächen berühren, also Flächentangenten sind. Die Berührpunkte bilden die Kontur u der krummen Fläche. In jedem Punkt U der Kontur ist die Tangentialebene t projizierend, da sie die projizierende Gerade durch U enthält. Beim Kegel­ stumpf bilden die berührenden projizierenden Geraden zwei Tangentialebenen. Beim Torus bilden die berührenden projizierenden Geraden zwei Zylinderflächen. Fig. 1.15 u u U t S p p u p u p U p t p p S u U t p U p t p u p p u  Fig 1.15 Eigenschaften der Zentralprojektion • Die Zentralprojektion ist weder parallelentreu noch teilverhältnistreu. • Nur die zur Bildebene p parallelen Geraden bilden eine Ausnahme. Für sie ist die Zentralprojektion parallelentreu und teilverhältnistreu. k Def  Def  L 149 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv