Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Die Tangentialebene t in einem Punkt P wird von der Breitenkreistangente und der Meridiantangente aufge- spannt ( Fig. 5.27). Begründe, dass jede Flächennormale n die Achse a schneidet (oder parallel zu ihr ist). 5.3 Drehflächen Beispiel 5.10 Schneide die gegebene Torusfläche mit den Tangentialebenen in den Punkten A, B, C und stelle jeweils den Flächenteil unterhalb der Tangentialebene dar. A, B und C liegen auf dem linken Meridiankreis in der yz-Ebene. A und C haben die z-Koordinaten 2,6 und 2,2. Die Tangentialebene b in B berührt die Torusfläche auch in D. Visualisiere die Objekte. Führe die Schnittlinie mit der Tangentialebene als dünnes Rohr aus und färbe die Innen- und Außenseite der Fläche unterschiedlich. Fig. 5.29a B D || y || z || D || B | | b || A || C Fig. 5.29b  Fig 5.29a P n a t Fig. 5.27  Fig 5.27 Fig. 5.28  Fig 5.28 Tangentialebenen können die Dreh- fläche „durchsetzen“ ( Fig. 5.28). Dies bedeutet, dass es in jeder Um­ gebung des Berührpunktes zu beiden Seiten der Tangentialebene liegende Flächenpunkte gibt. Die Schnittkurve der Drehfläche mit der Tangentialebene hat (in der Regel) den Berührpunkt als Doppelpunkt; sie schneidet sich in diesem Punkt selbst. Fig. 5.29a Fig. 5.29c B D || y || z || D || B | | b || A || C Fig. 5.29b B D  Fig 5.29b  Fig 5.29c Information: Die Schnittlinie der Torusfläche mit der doppelt berührenden Tangentialebene b besteht aus zwei Kreisen; sie werden nach ihrem Entdecker als VillarceauKreise bezeichnet. Hinweise (nur für den Schnitt mit der doppelt berührenden Tangentialebene): 1 Zeichne die Doppeltangente BD und schneide die Torusfläche mit der x-parallelen Ebene durch BD. 2 Deine Software erkennt natürlich nicht, dass die erzeugte Schnittlinie aus zwei Kreisen besteht. Zur Kontrolle kannst du die Kreise einzeichnen: Die Mittelpunkte liegen auf der Streckensymmetrale von B und D, ihr Abstand ist gleich dem Durchmesser des Meridiankreises (also 6). Der Radius ist gleich dem Radius des Mittenkreises (also 5). Begründe diese Konstruktion der Villarceau-Kreise. 3 Um die Innenseite der Torusfläche anders als die Außenseite färben zu können, benötigst du eine weitere Torusfläche mit dem gleichen Mittenkreisradius, aber einem geringfügig kleineren Meridiankreisradius. 89 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv