Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

5.2 Abwicklungen von Zylinder- und Kegelflächen In Fig. 5.14 siehst du ein einfaches Beispiel einer Abwicklung: eine schräg abgeschnittene Drehzylinder­ fläche wird entlang ihrer kürzesten Mantellinie aufge- schnitten und in die gegenüber liegende Tangentialebene ausgebreitet. Aus dem Basiskreis wird dabei eine Strecke, aus der Schnittellipse eine skalierte Sinuslinie. Die Herstellung der Abwicklung kannst du dir auch so vorstellen: Die eingefärbte Zylinderfläche rollt auf der lotrechten Tangentialebene; der erzeugte „Stempel­ abdruck“ ist die Abwicklung. Fig. 5.14  Fig 5.14 Beispiel 5.4 In  Fig. 5.12a ist eine Kreiskegelfläche mit waagrechten Randkreisen mit Hilfe eines Würfels festgelegt. Durch die Strecke PQ (P halbiert MA) sind jene Ebenen zu legen, welche die Kreiskegelfläche nach Parabeln schneiden. Stelle die Kreiskegelfläche und die Schnitt- parabeln dar. Fig. 5.12a Fig. 5.12b A m M P Q P Q M S | S M P Q  Fig 5.12a Hinweise: 1 Die Schnittebenen sind parallel zu den lotrechten Tangentialebenen der Kegelfläche. Zeichne die von S ' ausgehenden Tangenten an den Basis- kreis. Sie spannen gemeinsam mit SS ' die lotrechten Tangentialebenen auf. 2 Zeichne zu diesen Ebenen parallele Flächen durch P und schneide sie mit der Kreiskegelfläche. Beachte, dass eine der beiden Parabeln den oberen Rand- kreis berührt.  Fig 5.12b 5.2 Abwicklungen von Zylinder- und Kegelflächen Du hast sicher schon einmal ein Papierstanitzel ( Fig. 5.13) verwendet. Viele Flächen lassen sich aus Papier zurechtbiegen, etwa alle Zylinder- und Kegelflächen. Umgekehrt ist aber nicht jede aus Papier gebogene Fläche eine Zylinder- oder Kegelfläche. Die aus Papier oder Blech biegbaren Flächen nennt man abwickelbar . Eine abwickelbare Fläche lässt sich verzerrungsfrei in eine Ebene aus- breiten. Die Ausbreitung nennt man die Abwicklung der Fläche.  Fig 5.13 Die meisten Flächen sind nicht abwickelbar. So lässt sich etwa eine Kugelfläche oder ein Teil von ihr nicht dehnungs- oder rissfrei „verebnen“. Das ist intuitiv klar, aber schwierig zu beweisen. Ein Beweis, dass Kugel­ flächen nicht verzerrungsfrei in die Ebene abgebildet werden können, wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß (1777 –1855) in seinem Theorema Egregium geführt. Man kann zeigen, dass nur jene Flächen abwickelbar sind, die von jeder Tangentialebene entlang einer Geraden berührt werden. Eine derartige Fläche kann auf einer Ebene rollen, wobei sie stets entlang einer Geraden auf der Ebene aufliegt. Der „Stempelabdruck“ der Fläche ist die Abwicklung. Def  83 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv