Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

5.1 Zylinder- und Kegelflächen Begründe anhand von Fig. 5.5, dass die Tangentialebenen in allen Punkten der Erzeugenden PP* identisch sind. Die Zylinder- bzw. Kegelflächen werden von ihren Tangentialebenen also nicht nur in einem Punkt berührt, sondern längs einer ganzen Erzeugenden. Fig. 5.5 b b* P P* t t S P P* t b t b*  Fig 5.5 Eine BSplinekurve ( Fig. 5.3) wird durch Kontrollpunkte und einen Grad festgelegt. Der Grad ist eine natürliche Zahl, die mindestens 1 ist und höchstens gleich der Anzahl der Kontrollpunkte minus 1. Die Verbindungsstrecken aufeinander folgender Kontrollpunkte bilden das Kontrollpolygon der B-Splinekurve. Jede B-Splinekurve geht durch den ersten und letzten Kontrollpunkt und berührt dort die erste und letzte Strecke des Kontrollpolygons. Fig. 5.3  Fig 5.3 Durch Verziehen eines Kontrollpunktes K lässt sich der Verlauf der B-Splinekurve interaktiv ändern ( Fig. 5.4). Eine Stärke von B-Spline­ kurven mit vielen Kontrollpunkten und kleinem Grad ist die lokale Kontrolle: Die Kurve wird nur „in der Nähe“ des neu platzierten Kontroll- punktes geändert, weiter entfernte Kurventeile bleiben gleich. Auf welchen Teil der Kurve sich das Verziehen eines Kontrollpunktes auswirkt, hängt von der Anzahl der Kontrollpunkte und vom Grad ab. K K  Fig 5.4 Der Grad beeinflusst den Verlauf der Kurve: je größer der Grad, desto „runder“ die Kurve, desto größer aber auch die Abweichung der Kurve vom Kontrollpolygon. Beobachte den Einfluss des Grades, indem du B-Splinekurven mit demselben Kontrollpolygon und verschiedenen Graden zeichnest. Die Grade 2 und 3 reichen für die meisten Zwecke aus. Beim Grad 2 besteht die B-Splinekurve aus Parabelbögen. Die B-Splinekurve in Fig. 5.3 hat den Grad 3. Freiformkurven Beim kreativen Modellieren wirst du rasch den Wunsch haben, Kurven frei zu gestalten. Deine Software sollte B-Splinekurven zur Verfügung stellen. Sie sind im CAD außerordentlich wichtig. In Kap. A kannst du dich über diese Kurven und die ihnen zugrunde liegenden Bezierkurven genau informieren. Zylinder- und Kegelflächen werden in der Regel mit Extrusionswerkzeugen hergestellt. Mit einem Spezialfall der Extrusion hast du bereits in Kap. 3 gearbeitet. Den allgemeinen Begriff kannst du in Kap. A nachlesen. Mache dich mit den Werkzeugen deiner Software zum Herstellen von Zylinder- und Kegelflächen vertraut. 5.1 Zylinder- und Kegelflächen Zylinder- und Kegelflächen lassen sich einheitlich erzeugen ( Fig. 5.5): Eine (ebene) Basiskurve b wird mit einer schiebungsgleichen oder zentrisch ähnlichen Kurve b* verbunden. Wenn b* schiebungsgleich zu b ist, so bilden die Verbindungsstrecken entsprechender Punkte P und P* eine Zylinderfläche . Wenn b* zentrisch ähnlich zu b ist (Zentrum S), so bilden die Verbindungsstrecken entsprechender Punkte P und P* eine Kegelfläche mit der Spitze S. Bei einer bis zur Spitze S reichenden Kegelfläche ist der Ähnlichkeitsfaktor für b → b* gleich 0; die Kurve b* ist dann auf den Punkt S zusammengeschrumpft. Die Verbindungsstrecken PP* nennt man die Erzeugenden der Zylinder- bzw. Kegelfläche. Durch jeden Punkt einer Zylinderfläche geht eine zu b schiebungsgleiche Kurve, durch jeden Punkt einer Kegel­ fläche eine zu b zentrisch ähnliche Kurve. Eine Auswahl dieser Kurven bildet gemeinsam mit einigen Erzeugenden ein Netz, das zur Visualisierung der Fläche gut geeignet ist. L 142 L 140 Def  79 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv