Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Klassische Flächen im CAD 5 Welche Flächen als „klassisch“ bezeichnet werden, kann man nicht so genau sagen. Sie haben jedenfalls eine präzise geometrische Definition, aus der sich eine mathematische Erfassung (durch Gleichungen oder Parameter- darstellungen) herleiten lässt (siehe Kap. A). In diesem Kapitel werden Zylinder- und Kegelflächen, Drehflächen, Schraubflächen, Schiebflächen und Regelflächen behandelt. Freiere Formen, mit denen etwa Schiffsrümpfe oder Autokarosserien modelliert werden, zählen nicht zu den klassischen Flächen. Ab den 1960er Jahren wurde die Technologie für solche Freiformflächen entwickelt. Jede leistungsfähige CAD-Software stellt Werkzeuge für Freiformflächen zur Verfügung. Die nach wie vor wich­ tigen klassischen Flächen werden mit Freiformflächen sehr genau approximiert, oft sogar exakt dargestellt. Eine gewisse Vorsicht ist hier aber durchaus angebracht. Es kann schon vorkommen, dass deine Software eine von dir sorgfältig erdachte und gewissenhaft eingegebene Fläche in einer Weise wiedergibt, die auch bei groß­ zügiger Auslegung von Approximation unbrauchbar ist. Überprüfe also stets, ob die auf dem Bildschirm zu sehende Fläche deinen Vorstellungen entspricht. In den Abschnitten dieses Kapitels benötigst du neben den aus Kap. 3.2 bekannten Flächenoperationen auch Schnittpunkte von Geraden mit Flächen und Schnittlinien von Flächen. Mach dich mit den entsprechenden Werk- zeugen deiner Software vertraut. Außerdem kommen immer wieder Tangentialebenen vor. Wenn du mit diesem Begriff (noch) nicht vertraut bist, lies in Kap. A nach. Einleitend werden Kegelschnittbögen und Freiformkurven kurz dargestellt. Genauere Informationen findest du in Kap. A. Im CAD sind Werkzeuge für „ganze“ Kegelschnitte unüblich. Nur für die Ellipse gibt es ein eigenes Werkzeug; sie kann auch durch Skalieren eines Kreises hergestellt werden. Die Parabel und die Hyperbel, die sich ins Unendliche erstrecken, werden in der Regel nur durch Bögen erfasst. Kegelschnitte im CAD Die gemeinsame Bezeichnung Kegelschnitte für die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel beruht auf einer ein­ heitlichen Erzeugung dieser Kurven als ebene Schnitte von Drehkegelflächen (vgl. Kap. 5.1). Die Kegelschnitte sind nicht nur orthogonal symmetrisch, sondern auch schief symmetrisch ( Fig. 5.1). Bei einer schiefen Symmetrie sind die Verbindungsstrecken entsprechender Punkte parallel und werden von der Symmetrieachse halbiert; die Symmetrierichtung ist aber nicht normal zur Symmetrieachse. Auf den Kegelschnitten in Fig. 5.1 sind Bögen hervorgehoben. Solche Bögen werden im CAD mit Hilfe von NURBS-Kurven erfasst (siehe Kap. A). Sie werden durch die Sehne PQ, den Schulterpunkt S und den Tangenten­ schnittpunkt T festgelegt ( Fig. 5.2). Wenn S die Strecke HT halbiert, liegt ein Parabelbogen (schwarz) vor. Wenn S näher bei H ist, liegt ein Ellipsen­ bogen (grün) vor, sonst ein Hyperbelbogen (blau). Die Tangente im Schulter- punkt S ist immer parallel zur Sehne PQ. Q T P H S S S  Fig 5.2 • Die Ellipse und die Hyperbel sind schiefsymmetrisch bezüglich jedes Durchmessers. • Die Parabel ist schief symmetrisch bezüglich jeder achsenparallelen Geraden. • Die Symmetrierichtung wird durch die Tangente im Schnittpunkt S festgelegt. Fig. 5.1 Q T P S H Q M P T S H P Q H T S M  Fig 5.1 L 81 Def  k L 49 L 149 L 144 78 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv