Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Der Satz vom rechten Winkel lässt sich auch umkehren: Wenn ein Winkel in einem Normalriss als rechter Winkel erscheint und einen zur Bildebene π parallelen Schenkel hat, so ist der Winkel (auch im Raum) ein rechter Winkel. Begründe diese Umkehrung. 4.2 Konstruieren in Grund- und Aufriss Orthogonalität Das Wort „orthogonal“ kommt aus dem Griechischen und bedeutet „rechtwinklig“. Der rechte Winkel hat in der Geometrie eine fundamentale Bedeutung. Wie jeder andere Winkel wird er in der Regel verzerrt abgebildet. In  Fig. 4.45 kannst du eine Anwendung des Satzes vom rechten Winkel nachvollziehen. Hier wird ein Rechteck konstruiert, von dem die Eckpunkte A und C gegeben sind. Das Rechteck liegt in der durch die parallelen Geraden g und h festgelegten Ebene und hat zwei waagrechte Seiten. Die Trägergerade h 1 von AB ist eine erste Hauptgerade. Ihr Aufriss h 1 " ist normal zu den Ordnern, ihr Grundriss h 1 ' wird durch Angittern ermittelt. Der rechte Winkel zwischen den Seiten AB und BC erscheint im Grundriss unverzerrt, da AB erste Hauptlage hat. || g || P || h | g | h | P || h 1 | h 1 || A || B || C || D | A | B | C | D g[A(2|-5|5), P(1|0|7)] || h[C(8|0|1,5), h g] Fig. 4.45  Fig 4.45 Beispiel 4.9 Von einem Punkt A aus führen zwei Stollen AB und AC in ein Bergwerk [A(5,5|5|1), B(1|−5|2,4), C(0|0|4)]. Von B aus soll ein waagrechter Verbindungsgang BH gegraben werden, der AC in H trifft. Von C aus soll der kürzeste Verbindungsgang CF zu BH gegraben werden. Ermittle den Winkel zwischen den Stollen AB und AC sowie den Neigungswinkel des Verbindungsgangs CF. Hinweise: 1 Zeichne den waagrechten Verbindungsgang BH. Der Aufriss ist normal zu den Ordnern. 2 Drehe den Winkel ∠ BAC um BH parallel zur Grund- rissebene (wie in Fig. 4.43). Der Winkel beträgt a ≈ 27°. 3 Die kürzeste Verbindung CF von C mit BH ist normal zu BH. Der rechte Winkel ∠ BFC erscheint im Grund- riss unverzerrt (Satz vom rechten Winkel). 4 Konstruiere den Neigungswinkel von CF (wie in  Fig. 4.41). Der Winkel beträgt j ≈ 36°. j || A || B || C | A | B | C || H | H || F | F | A o a  Fig 4.46 Es gibt aber eine wichtige Ausnahme, die in  Fig. 4.44 für den Grundriss illustriert wird: Ein rechtwinkliges Dreieck rotiert um eine Kathete a, die parallel zur Bild­ ebene π 1 ist. Die zweite Kathete liegt stets in der zu a normalen Ebene d . Da d projizierend ist, liegen alle Bilder der zweiten Kathete auf d ' . Dreht man das Drei- eck parallel zu π 1 , so erscheint der rechte Winkel unver- zerrt. Daraus folgt, dass d ' normal zu a ' ist. Satz vom rechten Winkel Ein rechter Winkel, von dem ein Schenkel parallel zur Bildebene π und der andere Schenkel nicht normal zu π ist, wird bei Normalprojektion auf π als rechter Winkel abgebildet. Fig. 4.44 | d d p 1 a | a  Fig 4.44 k 71 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv