Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

• Wenn eine Gerade g projizierend ist, dann ist das Bild von g ein Punkt. • Wenn eine Gerade g nicht projizierend ist, bilden die g treffenden projizierenden Geraden eine Ebene. Das Bild von g ist daher eine Gerade. Fig. 1.7 B p p A g p A p B p g = = p B p A B A p p g p g  Fig 1.7 Beachte, dass aus einem Riss nie alle Informationen über das abgebildete Objekt abzulesen sind. Der „Dimensionsverlust“ kann trügerisch sein! Wenn du in  Fig. 1.6 nur das linke Bild betrachtest, wirst du wohl meinen, dass hier ein Quader abge­ bildet ist. Das Bild ist aber ein Riss des rechts zu sehenden „gekrümmten“ Objekts. Der Grund für diese Fehlinterpretation liegt in der Umkehrung der Projektion: Zu jedem Bildpunkt P p gehört nicht nur ein Raumpunkt P; alle Punkte der projizierenden Geraden durch P p haben denselben Bildpunkt. Fig. 1.6 p p P p P p p P  Fig 1.6 1.2 Eigenschaften der Projektionen Das Bild einer Geraden entsteht durch Projizieren ihrer Punkte. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden, die in  Fig. 1.7 für die Parallelprojektion veranschaulicht werden. Die zum Projizieren von Geraden benötigten Ebenen nennt man projizierende Ebenen ( Fig. 1.8). Bei der Parallelprojektion ist eine projizierende Ebene ε parallel zum Projektionspfeil p, bei der Zentralprojektion ver- läuft sie durch das Projektionszentrum O. • Wenn eine Ebene ε projizierend ist, dann ist das Bild von ε eine Gerade. • Wenn eine Ebene ε eine projizierende Gerade enthält, dann ist sie eine projizierende Ebene. Fig. 1.8 p p g P Q p p p P =Q =g e p e p g P Q c c c P =Q =g e c e O  Fig 1.8 Parallelprojektion Die wichtigsten Eigenschaften der Parallelprojektion lassen sich aus  Fig. 1.9 ablesen. Führe die Begründungen selbst durch. Denke bei der zweiten und dritten Eigenschaft an ähnliche Dreiecke bzw. an den Strahlensatz. Eigenschaften der Parallelprojektion • Parallele Strecken AB und PQ haben parallele Bildstrecken A p B p und P p Q p . Diese Eigenschaft bezeichnet man als Parallelentreue . • Das Längenverhältnis paralleler Strecken AB und PQ ist gleich dem Längenverhältnis ihrer Bildstrecken A p B p und P p Q p . • Wenn ein Punkt T eine Strecke AB teilt, dann teilt der Bildpunkt T p die Bildstrecke A p B p im selben Verhältnis. Diese Eigenschaft bezeichnet man als Teilverhältnistreue . p B p A p T B T A p p A B p A p B p P p Q P Q p p p B p A p T B T A p p A B p A p B p P p Q P Q p p  Fig 1.9 k 1.2 Eigenschaften der Projektionen Def  7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv