Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

In  Fig. 2.25 ist die Normalprojektion eines Kreises k zu sehen. Im Folgenden wird nicht bewiesen, dass die Bild­ kurve k n eine Ellipse ist. Es wird aber begründet, dass das Bild a n der Drehachse a des Kreises k normal zur Haupt­ achse der Bildellipse k n ist. Der zur Bildebene π parallele Durchmesser AB ist der einzige Durchmesser von k, der unverkürzt ab­ gebildet wird. Der zu AB normale Durchmesser CD wird am stärksten verkürzt abgebildet. Die Bildellipse k n hat daher die Hauptachse A n B n und die Neben­ achse C n D n . Die durch den Kreismittelpunkt gehende Normalebene von AB enthält die Drehachse a und den Durchmesser CD. Sie ist außerdem normal zu π , also projizierend. Daher liegt das Bild a n der Dreh­ achse a auf der Nebenachse C n D n der Ellipse k n . Fig. 2.25 p n A n C n D n B n a n k p A B C a D k n C n A n B n D n a n k Zeichenebene r  Fig 2.25 Normalriss eines Kreises k • Die Hauptachse der Bildellipse k n ist normal zum Bild a n der Drehachse a des Kreises. • Die halbe Hauptachsenlänge der Bildellipse k n ist gleich dem Radius r des Kreises. Hättest du beim Beispiel 2.8 die Achsenfaktoren nicht berechnet, sondern beliebig vorgegeben, so hättest du einen elliptischen Kugelumriss konstruieren müssen, was gar nicht so einfach ist. Außerdem wirken Bilder mit elliptischen Kugelumrissen eigenartig verzerrt. Auch die Scheitel der Bildellipsen (und somit die Scheitelkrüm­ mungskreise) hättest du nicht so leicht konstruieren können. Kurz gesagt: Wenn Objekte mit Kugeln axono­ metrisch darzustellen sind, ist die normale Axonometrie dringend zu empfehlen! Beispiel 2.8 Ein Objekt besteht aus zwei Vierteln einer Kugel [M(0|0|0), r = 6]. Die Vierteln werden durch (x ≤ 0, y ≥ 0) und (y ≤ 0, z ≤ 0) beschrieben. Zeichne ein normalaxonometrisches Bild dieses Objekts. Angabe der Axonometrie: ∠ z n x n = – 130°, ∠ z n y n = – 75°. Hinweise: 1 Zeichne die Achsenbilder und berechne die Achsenfaktoren mit den auf Seite 22 angegebenen Formeln. Die dafür benötigten Winkel sind a = 130° und b = 105°. Du solltest v x = u = 0,642, v y = v = 0,901, v z = w = 0,880 erhalten. 2 Stelle die Schnittpunkte der Achsen x, y, z mit der Kugelfläche mit Hilfe der berechneten Achsenfaktoren dar. 3 Zeichne den Kugelumriss, also einen Kreis mit dem Radius r = 6. 4 Darstellung der Schnittkreise: Von den Bildellipsen kennst du bereits jeweils vier Punkte. Die Tangenten in diesen Punkten sind parallel zu den Achsenbildern. Die Hauptachsen der Bildellipsen sind normal zu den Achsenbildern. Die Hauptscheitel liegen auf dem Kugelumriss. Für die Nebenscheitel gibt es eine einfache Hilfskonstruktion (siehe Kap. A, Fig. A.27); sie ist für die Bildellipse des Schnitt- kreises mit der xz-Ebene durchgeführt. 5 Wenn du die Bildellipsen besonders „schön“ zeichnen möchtest, kannst du die Scheitel­ krümmungskreise verwenden; auch diese Konstruktion findest du in Kap. A ( Fig. A.27). 6 Stelle den Normalriss des Objekts unter Beachtung der Sichtbarkeit fertig. n z n x n y a b b 1 2 3 Fig. 2.26 n z n x n y 75° 1 0° 3 b a  Fig 2.26 2.2 Zeichnen von Parallelrissen k L 146 23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv