Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Zeichnen von Rissen 2 Normale Axonometrie Normalrisse sind in mancher Hinsicht vorteilhafter als Schrägrisse. Dies gilt vor allem für die Kugeldarstellung: Bei Normalrissen treten Kreise als Umrisse von Kugeln auf (wie intuitiv zu erwarten ist), bei Schrägrissen hin­ gegen Ellipsen (siehe Kap. 1.3). In  Fig. 2.23 sind zwei Bilder eines Drehkegelstumpfs mit einer aufliegenden Kugel zu sehen. Das linke Bild ist ein Schrägriss, das rechte ein Normalriss. Die Achsenbilder sind jeweils gleich; der Unterschied liegt also nur in den Achsenfaktoren. Die unterschiedliche Qualität der Bildwirkung ist offensichtlich! • In einem Schrägriss ist der Umriss einer Kugel stets eine Ellipse. • In einem Normalriss ist der Umriss einer Kugel stets ein Kreis. Fig. 2.23 s y s x s z n z n y n x  Fig 2.23 Die Normalprojektion hat beim axonometrischen Verfahren aber einen ganz großen Nachteil: Nur die Achsen­ bilder x n , y n , z n können (weitgehend) frei gewählt werden; die Achsenfaktoren v x , v y , v z sind durch sie automatisch mitbestimmt. Wenn du aber ein Objekt darstellen sollst, bei dem auch Kugeln vorkommen, ist jeder Schrägriss schlecht geeignet. Um einen Normalriss axonometrisch zeichnen zu können, musst du die Achsenfaktoren kennen. Sie können konstruktiv oder rechnerisch ermittelt werden. Auf die Konstruktion gehen wir nicht ein. Die Berechnung erfolgt mit den unten angegebenen Formeln, deren Herleitung nicht einfach ist. Fig.  2.24 zeigt beliebig gewählte Achsenbilder für eine normale Axonometrie und die daraus rekonstruierte räumliche Lage der Koordinatenachsen x, y, z zu einer lotrechten Bildebene π . Die Einheitsstrecken auf den Koordinatenachsen werden auf Strecken mit den Längen u, v, w projiziert. Mit einigem Aufwand lassen sich diese „verkürzten Einheitsstrecken“ aus den Winkeln a und b berechnen: Die in den Formeln verwendeten Winkel a und b sind die stumpfen Winkel, die von z n zu den Trägergeraden von x n und y n gemessen werden (ohne Vorzeichen). Die Wahl der Achsenbilder ist zulässig, wenn die Winkel a und b auf ver­ schiedenen Seiten von z n liegen und der Winkel g = 360° – a – b stumpf ist; sonst liegt keine Normalprojektion vor. Fig. 2.24 n z n y n x p p a b g x y z 1 1 1 u v w n z n y n x g a b Zeichenebene Du kannst nun für die Darstellung eines Objekts in normaler Axonometrie die Werte u, v, w als Achsenfaktoren v x , v y , v z verwenden; dazu proportionale Werte sind natürlich auch möglich. In  Fig. 2.23 wurden die Winkel a = 120° und b = 105° verwendet. Der Schrägriss wurde mit den Achsenfaktoren v x = 1, v y = 0,8, v z = 1 gezeichnet. Als Achsenfaktoren für den Normalriss wurden die berechneten Werte u = 0,650, v = 0,856, w = 0,919 verwendet. Wirf noch einmal einen Blick auf  Fig. 2.23! Im Normalriss (rechtes Bild) ist zu sehen, dass die Hauptachse der Bildellipse des Basiskreises normal zum Achsenbild z n ist, also zum Bild der Drehachse des Kreises. Diese normale Lage der Hauptachse der Bildellipse zum Bild der Drehachse des Kreises tritt bei Normalrissen immer auf; dies wird nun begründet.  Fig 2.24 w 2 = 1 – cot a · cot b tan a + cot a u 2 = tan a + tan b tan b + cot b v 2 = tan a + tan b k L 11 22 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv