Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Das Bild eines Kreises bei Parallelprojektion ist ein Kreis (Sonderfall) oder eine Ellipse (allgemeiner Fall), außer die Ebene des Kreises ist projizierend. Grundlegende Informationen zur Ellipse findest du in Kap. A. Um Kreise bzw. Kreisbögen darzustellen, ist aber keine theoretische Einsicht in Ellipsen erforderlich; die Bilder können mit Hilfe von Punkten und Tangenten ausreichend genau gezeichnet oder skizziert werden. Wenn du einen Kreis darstellen sollst, der in oder parallel zu einer Koordinatenebene liegt, dann beginnst du am besten mit den achsenparallelen Durchmessern AB und CD ( Fig. 2.20). Wenn keine Achsenfaktoren gegeben sind, kannst du die Längen der Bildstrecken A p B p und C p D p beliebig wählen (vgl. Satz von Pohlke). Die Kreis­ tangenten in den Endpunkten der beiden Durchmesser bilden ein Quadrat, das auf ein der Ellipse berührend umschriebenes Parallelogramm abgebildet wird. Mit Hilfe dieses Parallelogramms kannst du die Ellipse schon grob skizzieren. Um sie genauer zu zeichnen, kannst du auch das Bild des um 45° gedrehten Quadrats verwenden. Die Eckpunkte lassen sich mit Hilfe des Faktors √2 exakt einmessen. Wenn du skizzierst, kannst du die Eckpunkte wegen √2 » 140% recht genau einschätzen. Sehr praktisch ist auch die im dritten Bild angegebene Konstruktion eines zusätzlichen Kreispunktes P samt der Tangente t. Du kannst den Beweis für die Konstruktion selbst führen, etwa durch „Nachrechnen“ in einem Koordinatensystem. Fig. 2.20 2r r/2 P t 2 r A B C D p A p B p C p D p x p y p z p P p t  Fig 2.20 Wenn du einen Drehkegelstumpf auf einem waag­ rechten Quadrat skizzieren möchtest, kannst du mit einem beliebigen Parallelogramm beginnen, dessen Seiten parallel zu den Achsenbildern x p und y p sind ( Fig. 2.21). Nach dem Satz von Pohlke kann das Parallelogramm als Bild eines Quadrats aufgefasst werden. Verkleinere dann das Parallelogramm (zentrisch ähnlich) und schreibe die Bildellipse des Basiskreises wie in  Fig. 2.20 ein. Die Bildellipse des Deckkreises ist zentrisch ähnlich zur Bildellipse des Basiskreises (Zentrum S p ). Die Umrissstrecken des Drehkegelstumpfs (vgl. Kap. 1.3) liegen auf den durch S p gehenden gemeinsamen Tangenten der beiden Ellipsen. Sie sind die Bilder von Mantellinien, deren Tangentialebenen projizierend sind. Fig. 2.21  Fig 2.21 Beispiel 2.7 Zeichne einen Parallelriss des in Fig. 2.22 durch Grund- und Aufriss gegebenen Objekts. Bemühe dich, die Proportionen einzuhalten. Hinweise: 1 Wähle die Achsenbilder beliebig und zeichne zuerst die rechts zu sehenden umschriebenen Quader. 2 Zeichne die Bildellipsen mit den Konstruk­ tionen aus Fig. 2.20. 3 Vergiss nicht auf die Umrissstrecken der Drehzylinder (parallel zu z p bzw. x p ). R r p x p y p z  Fig 2.22 2.2 Zeichnen von Parallelrissen L 144 L 19 L 9 21 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv