Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

x y z || y | y || z ||| z ||| x | x ||| P || P | P p z p x p y p P | p P Fig. 2.16 p x p y | p P p z P(x|y|z)  Fig 2.16 Wenn wir die Achsenbilder x p , y p , z p und die Achsenfaktoren v x , v y , v z kennen, so ist es also ganz einfach, einen anschaulichen Parallelriss zu konstruieren. Wie kommen wir aber zu den Achsenbildern und den Achsenfaktoren? Sie ergeben sich aus der Projektionsrichtung (festgelegt durch einen Vektor) und der Bildebene (festgelegt durch eine lineare Gleichung). Zum Glück kann man sich die aufwändige Berechnung aber ersparen und gewissermaßen „das Pferd vom Schwanz aufzäumen“: Die Achsenbilder x p , y p , z p und die Achsenfaktoren v x  , v y  , v z dürfen beliebig vorgegeben werden. Diese grundlegende Aussage wurde erstmals von Karl Wilhelm Pohlke (1810– 1876) bewiesen. Satz von Pohlke Gibt man die Achsenbilder x p , y p , z p und die Achsenfaktoren v x , v y  , v z beliebig vor und konstruiert dann das Bild eines Objekts durch Einmessen von Koordinatenwegen, so ist dieses Bild ähnlich zu einem Parallelriss des Objekts. Wegen des Satzes von Pohlke hast du bei der Angabe der Axonometrie (also bei der Wahl der Achsenbilder und Achsenfaktoren) theoretisch völlige Freiheit. Hüte dich aber vor extremen Angaben! Skizziere etwa ein Bild des Einheitswürfels mit den Achsenfaktoren v x = 1/2, v y = 1 und v z = 2. Das Ergebnis kann tatsächlich als Würfelbild aufgefasst werden, die Bildwirkung ist aber ganz schlecht. Durch die Wahl der Achsenbilder und Achsenfaktoren steuerst du indirekt die Ansicht, also die Projektionsrichtung, die Lage der Bildebene und die Größe des Bildes. Die Rekonstruktion der Projektionsrichtung bei vorgegebenen Achsenbildern und Achsenfaktoren ist einfach ( Fig. 2.15, links): Zeichne das Bild eines beliebig großen Würfels, etwa mit der Kantenlänge 10 cm. Der auf AB liegende Punkt P und der auf CD liegende Punkt Q legen die Projektionsrichtung PQ fest. Du erhältst die x-Koordinate von P, wenn du die abgemessene Länge von B p P p durch v x dividierst. Ebenso erhältst du die z-Koordinate von Q, indem du die Länge von C p Q p durch v z dividierst. Die restlichen Koordinaten von P und Q sind unmittelbar ersichtlich. Wenn du ein Objekt axonometrisch abbilden möchtest, musst du zuerst die Koordinatenachsen an das Objekt anpassen. Die Koordinaten der Objektpunkte müssen bekannt, ablesbar oder abmessbar sein. Dann zeichnest du dir geeignet erscheinende Achsenbilder und legst die Achsenfaktoren fest. In  Fig. 2.16 ist ein Objekt durch die Hauptrisse festgelegt; die Koordinaten können also abgemessen werden. Beim Zeichnen des axonometrischen Risses solltest du nicht wahllos Punkte einmessen und dann „kreuz und quer“ verbinden. Empfehlenswert ist, zuerst den Grundriss des Objekts in der xy-Ebene einzumessen und dann erst die z-Koordinaten. Analog könntest du auch zuerst den Aufriss einmessen und dann erst die x-Koordinaten. Man bezeichnet diese Methode als Aufbauverfahren. Wenn du Eigenschaften der Parallelprojektion (wie etwa die Parallelentreue) beachtest, kannst du den Aufwand erheblich reduzieren. Alternativ kannst du auch das Bild eines Koordinaten­ wegs zeichnen, für den P p mit U p zusammenfällt ( Fig. 2.15, rechts). Ermittle die Koordinaten des Punktes P(x|y|z), indem du seine „verzerrten Koor­ dinaten“ x · v x , y · v y , z · v z abmisst und durch v x , v y , v z dividierst. Die Projektionsrichtung wird durch P und den Ursprung U festgelegt. Die Rekonstruktion der Bildebene ist wesentlich schwieriger und wird hier nicht behandelt. Fig. 2.15 p x p y p z p A p B p C p D p p P =Q p x p y p z p U = p P  Fig 2.15 2.2 Zeichnen von Parallelrissen k k 19 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv