Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

12 Hänge in der Basisebene zwei gleichseitige Dreiecke an benachbarte Quadratseiten an. Füge ein gleich­ schenkliges Dreieck mit der gleichen Schenkellänge und dem Öffnungswinkel 121° symmetrisch in die Lücke zwischen den Dreiecken. Drehe ein Dreieck und das gleichschenklige Dreieck so nach oben, dass benachbarte Seiten zur Deckung kommen (wie in Fig. 6.33a). 13 a) Ikosaeder – Die Kanten müssen gedrittelt werden. b) Das Polyeder besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken. Daraus ergibt sich die Anzahl der Kanten [(12 · 5 + 20 · 6)/2 = 90] und die Anzahl der Ecken [(12 · 5 + 20 · 6)/3 = 60]. 14 a) Lege durch die Anfangspunkte der Lichtstrahlen die Normalen auf die Spiegelebene und ermittle die Fußpunkte. Vergleiche die Dreiecke, die jeweils vom Fußpunkt, vom Anfangspunkt und vom Endpunkt des Lichtstrahls gebildet werden. b) Spiegle die Anfangspunkte der Lichtstrahlen an der Spiegelebene und beachte, dass die gespiegelten Punkte auf Würfelkanten liegen. Die Auftreffpunkte der reflektierten Lichtstrahlen liegen auf den jeweils diametralen Würfelkanten. 15 Die Bahnkurve ist die Schnittkurve einer Drehzylinderfläche (Achse PQ, r = 2) mit der Ebene z = 2. Sie ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkt M(1|3|2). Die Nebenachse ist parallel zur y-Achse (b = 2), die Hauptachse ist parallel zur x-Achse (a = 2 √2 ). 16 a) Beachte, dass durch die Startrichtung eine Tangente des Großkreises definiert wird. Sie liegt in der Tangentialebene des Startpunktes. b) Die Breite lässt sich mit Hilfe der Kreisbogenformel berechnen. Für die Länge ist die Information wertlos. c) Ja – Beachte, dass die Tangente im Endpunkt eines Durchmessers normal zum Durchmesser ist. 17 Verwende Trigonometrie oder einfacher ein 2D-Zeichenprogramm zum Lösen der Aufgaben. a) 81,3° nB – Zeichne den Schnittkreis der Erdkugel mit der Meridianebene durch den Satelliten und lege eine Tangente aus dem Satelliten an diesen Kreis. b) Maximale Elevation in Budapest: 35,4° – Beachte, dass die maximale Elevation erreicht wird, wenn der Satellit in der Meridianebene von Budapest liegt. Lösungen und Hinweise Stichwortverzeichnis Abstand Gerade – Gerade 115, 133 Punkt – Ebene 115 Punkt – Gerade 115 von einer Geraden 115 Abstand, kürzester 115 Abwicklung 83 Achsenfaktor 18 Achsenschnitt 87 Ähnlichkeit, zentrische 38 Algorithmus von de Boor 143 Algorithmus von de Casteljau 142 allgemeine Lage 8, 9, 72 Angittern 66, 69 Ansicht 5, 13, 36, 157 Ansicht, unverzerrte 69, 114 Äquator 24, 36, 128 Äquatorebene 130 archimedische Polyeder 122, 139 Asymptoten 146 Asymptotenkegel 90, 101 Aufriss 13 Aughöhe 30 Augpunkt 25, 162 Ausnehmung 47 Axonometrie, normale 18, 22 Azimut 131 B-Splinekurve 79, 143 Bahnkreis 87 Basiskurve 79 Beleuchtung 62, 159 Benutzerkoordinatensystem 37, 112, 157 Bezierfläche 154 Bezierkurve 79, 142 Bezugsebene 68 Bildebene 5, 13, 25, 162 Bildpunkt 5, 30 Blickachse 25, 162 Boolesche Operationen 42 Breite, nördliche, südliche 128 Breitenkreis 24, 41, 87, 128, 136 Brennpunkt 144, 146, 147 B-Splinefläche 155 B-Splinekurve 79, 143 Bump Mapping 161 Differenz, Boolesche 42 Displacement Mapping 161 Distanz 25, 30 Dodekaeder 122, 138 Doppelpunkt 89 Doppelschattenpunkt 63 Dreieck, sphärisches 129 Drehellipsoid 90 Drehen in Hauptlage 114 Drehfläche 53, 87, 150 Drehhyperboloid, 90 einschaliges 90, 101, 151 zweischaliges 90 Drehkegelfläche 101 Drehkegelschnitte 80, 148 Drehkörper 48 Drehparaboloid 90, 131 Drehquadrik 90 Drehregelfläche 101 Drehung 38, 91, 121 Drehzylinderfläche 101 Drehzylinderschnitte 80, 148 Dreipunktdrehung 40 Dreipunkt-Perspektive 27 Durchschnittverfahren 30 ebene Schnitte von Drehkegelflächen 81, 148 Drehzylinderflächen 80, 148 Kegelflächen 60 Körpern 43 Kugelflächen 74 Prismen- und Pyramiden­ flächen 59 Zylinderflächen 61 Eckenabschneiden 137, 139 Eigenschatten 62 Einpunkt-Perspektive 27 Elevation 131 Ellipse 78, 144 elliptisches Paraboloid 96, 152 Erdachse, Erdkugel 11, 24, 128 Erzeugende 60, 79, 98, 101, 104, 152 Eulersche Formel 137 Extrusionsfläche 52, 140 Extrusionskörper 46, 140 Fläche, einhüllende 50 Fläche, krumme 137, 149 Flächenkurve 149 Flächenmodell 36, 49, 158 Flächennormale 149 Flächentangente 149 Flachkreis 87 Fluchtgerade 25 Fluchtpunkt 8, 25 Fluchtpunktdreieck 27 Foto 6 Freiformflächen 153 Freiformkurven 142 Frontalriss 16 Gang, Ganghöhe 91 geordnete Lage 65 Gewicht 144, 156 Gittergerade 66 168 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv