Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Lösungen und Hinweise Kapitel 6 1 a) Du könntest das Dreieck ABC aus dem Punkt B zentrisch vergrößern und mit der x-Achse schneiden. Alternativ könntest du die x-Koordinate von D(x|0|0) mit Hilfe der Gleichung der Ebene ε = ABC berechnen. b) Du könntest die Schnittstrecke von ABC mit einer waagrechten Ebene durch A konstruieren und ein Benutzerkoordinatensystem geeignet ausrichten. 2 Halbe Kugelfläche – ∠ ASB = 90°, da die Ebene ASB die Fläche nach einem Halbkreis schneidet. Halbe Drehzylinderfläche – ∠ ASB > 90°, da die Ebene ASB die Fläche nach einer halben Ellipse mit den Haupt- scheiteln A und B schneidet. 3 a) Falsch – Denke an eine Gerade, die normal zu einer Ebene ist. b) Richtig – Beachte, dass AD normal zur Ebene ABE ist; die Verhältnisse sind bedeutungslos. c) Richtig – Beachte, dass die durch den Würfelmittelpunkt gehende Normalebene der Flächendiagonale die Raumdiagonale enthält. 4 a) Zeichne die Normale aus M auf g. Der Abstand d von M und g ist die halbe Kantenlänge. Zeichne A und C ( √2 · d auf g auftragen). Die Diagonale BD ist normal zur Ebene MAC. Die Aufgabe ist eindeutig lösbar. b) Konstruiere S als Schnittpunkt von g mit der Symmetrieebene s von AB. Konstruiere M in der Ebene s , etwa mit Hilfe des Satzes von Thales. Die Aufgabe hat zwei Lösungen (wenn g nicht parallel zu s ist und h kleiner als die Länge der Strecke SH ist). 5 a) Beachte, dass AB normal zur Ebene PCS ist, da AB normal zu PC und normal zu PS ist; also ist AB normal zu CS. Überlege analog für die anderen Seiten des Dreiecks. b) Überlege zuerst, dass AB normal zu PQ ist. Überlege dann, dass auch AC normal zu PQ ist. Daher ist PQ normal zur Ebene ABC. Alternativ könntest du ein Koordinatensystem an das quadratische Prisma anpassen und die Orthogonalität mit Hilfe der Vektorrechnung nachweisen. 6 a) Zeichne eine zu a und b parallele Ebene und beachte, dass die Normale n* dieser Ebene zur Treffnormalen n von a und b parallel ist. b) Wäre b normal zum dunkel gefärbten Rechteck, dann wäre b normal zu a. Dies trifft also nur im Sonderfall a ^ b zu (etwa wenn a und b durch zwei windschiefe Kanten eines Quaders gegeben sind). 7 a) Beachte, dass BS normal zu AF und normal zu AC ist; also ist BS normal zur Ebene FAC. b) Beachte, dass FA und FC kürzer als BA und BC sind. c) Ja – Beachte, dass FM in der Ebene FAC liegt und dass daher FM normal zu BS ist. d) Nein – AF ist zwar normal zu BS, aber nicht normal zur Ebene BCS. 8 Zu zeigen ist, dass die blaue Basisdiagonale parallel zu beiden Ebenen ist. Verschiebe sie durch S bzw. Q und überlege, dass diese Geraden in der grünen bzw. gelben Ebene liegen. Alternativ kannst du ein Koordinatensystem an den Würfel anpassen, Normalvektoren der beiden Ebenen berechnen und überprüfen, dass diese Normalvektoren normal zur blauen Basisdiagonalen sind. 9 a) Beachte, dass die Mittelpunkte der Rollen auf den Winkelsymmetralen der Tangenten liegen und von den Tangenten den Abstand 2,4 haben. Die Drehachsen sind normal zu den Rollenebenen. b) Verschiebe a durch Q. Wären die Rollen zueinander normal, so müsste diese Gerade in der Trägerebene der zweiten Rolle liegen. Dies ist offensichtlich nicht der Fall. Alternativ könntest du die Begründung mit Hilfe der Vektorrechnung führen. c) Überlege zuerst, dass x Q = 0 sein muss. Die Rollen sind nun zueinander normal, da die Ebene APQ die yz-Ebene ist und die Ebene BQP parallel zur x-Achse liegt. d) Du könntest die Normalen der Rollenebenen APQ und BQP zeichnen und ihren Winkel messen. Du könntest auch in den Rollenebenen APQ und BQP jeweils eine Normale von PQ zeichnen und den Winkel dieser beiden Normalen messen. Wenn du lieber rechnest, könntest du den Winkel mit Hilfe der Normal­ vektoren der Rollenebenen APQ und BQP ermitteln. Der Winkel beträgt 101,54°. 10 a) Beachte, dass außer dem Mittelpunkt auch ein Eckpunkt des Würfels fix bleibt. b) Wähle einen Eckpunkt der Ausgangslage und identifiziere den entsprechenden Eckpunkt der Endlage. Zeichne den Würfel und die Drehachse (Raumdiagonale). Lege aus den beiden Eckpunkten die Normalen auf die Drehachse und miss den Winkel. Er beträgt 120°. 11 a) Die Drehachsen müssen durch A gehen und in der Symmetrieebene von n und n* liegen. Diese Ebene enthält die Winkelsymmetrale von n und n* und ist normal zur Verbindungsebene von n und n*. b) Ja – Beachte, dass die Schnittgerade normal zu n und n* ist. c) Ja – Die Drehachse ist die Winkelsymmetrale von n und n*. 167 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv