Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Lösungen und Hinweise 4 Beachte, dass a/2 der Kreisradius r ist. Wegen cos a = 5/8 ist a = 51,32°. 5 a) Falsch – Beachte, dass die drittprojizierende Ebene durch AB nicht durch die Spitze geht. Die Schnittlinie ist ein Parabelbogen. b) Falsch – Ergänze M gedanklich im Kreuzriss. Der Ordner durch M " geht übrigens durch die Umrisspunkte des Ellipsenbogens im Kreuzriss. c) Falsch – Beachte die zu ε parallele Ebene durch die Kegelspitze. Die Schnittlinie ist ein den Basiskreis berührender Hyperbelbogen. 6 a) Richtig – Der Mittelpunkt ist A, ein Durchmesser liegt auf der Geraden AB. Die Ellipse berührt den oberen Randkreis im Punkt F. b) Falsch – Die Ebene AHE geht durch m und schneidet die Zylinderfläche daher nach zwei Mantellinien. c) Falsch – Die Ebene ABD geht nicht durch m. Die Schnittlinie ist eine halbe Ellipse, die den oberen Randkreis berührt. 7 a) Richtig – Beachte, dass der obere Radius halb so groß ist wie der untere Radius. b) Falsch – Die Parallelebene durch die Spitze schneidet aus der (verlängerten) Kreiskegelfläche nur die Spitze aus. Die Schnittlinie ist ein Ellipsenbogen. c) Richtig – Die Parallelebene durch die Spitze ist die yz-Ebene; sie berührt die Kegelfläche. d) Richtig – vgl. b) – Der Bogen wird durch die Punkte (0|1|1) und (1|1|1) begrenzt und berührt den Basiskreis im Punkt (1|1|0). 8 (1|2|2), (2|–1|0) und (2|4|–5) – Der erste Vektor lässt sich unmittelbar erkennen. Der zweite Vektor ist ein Normal- vektor der zweiten Symmetrieebene. Du kannst ihn mit Hilfe des vektoriellen Produkts ermitteln. Einfacher kannst du den Vektor (1|2|0) in der xy-Ebene um 90° drehen (Koordinaten vertauschen und Vorzeichen ändern). Der dritte Vektor ergibt sich als vektorielles Produkt der ersten beiden Vektoren. 9 Beachte, dass das im Grundriss zu sehende Parallelogramm eine Raute ist und denke an das Kugelkriterium. Alternativ kannst du an die lotrechten Ebenen durch die Winkelsymmetralen der Achsen denken. Spiegelt man eine der beiden Zylinderflächen an einer solchen Ebene, so erhält man die andere Zylinderfläche. Die Schnitt- kurve der Zylinderfläche mit der Ebene bleibt dabei fix. 10 a) P(5|2,4|6), N(0|0|4,46) – Berechne die z-Koordinate von N(0|0|z) mit Hilfe des skalaren Produkts (NP ist normal zu AB). b) Der Mittelpunkt des oberen Randkreises ist M*(0|0|10). Überprüfe, dass M*B nicht normal zu AB ist. 11 Ja – Du kannst das im rechten Riss erkennen, wenn du d, a und den Meridiankreisradius identifizierst. 12 Den Mittelpunkt kannst du unter Beachtung der schiefen Symmetrie der Ellipsenbögen über den Strecken AB und AS (oder BS) ermitteln (vgl. Fig. 5.1). Die Drehachse findest du wie in Check 2. 13 a) ε ist doppelt so groß wie j – Beachte die Winkelsumme im Dreieck. b) Der Punkt S kann durch Drehen um die lotrechte Gerade durch M und durch Schieben in Richtung dieser Geraden erzeugt werden, wobei der Drehwinkel und die Schiebstrecke proportional sind. Beachte auch, dass die Punkte P und S in derselben Höhe liegen. 14 Nein – Denke an ebene Schnitte einer Kugelfläche mit parallelen Ebenen. 15 Denke an den Schnittpunkt der durch B und C gehenden Schiebkurven sowie an deren Tangenten in diesem Punkt. 16 Ruf dir die Konstruktion von Parabeltangenten in Erinnerung (oder recherchiere in Kap. A) und gehe analog zu Beispiel 5.18 vor. 17 Wähle eine beliebige Erzeugende e und verschiebe sie durch einen beliebigen Punkt der Achse. Die Verbindungs­ ebene s ist parallel zu e. Die Schnittebene ε geht durch e und ist normal zu s . Spiegelt man e an s , so erhält man eine zu e parallele Gerade. Sie liegt auf dem Drehhyperboloid, da die Fläche durch Spiegeln an jeder durch die Achse gehenden Ebene in sich übergeht. 18 a) Falsch – Der Grundriss suggeriert die Aussage, im Raum sind die Winkel aber in der Regel nicht gleich. Wenn der Winkel j zwischen den Scheitelerzeugenden e und f kleiner als 90° ist, so ist der Winkel zwischen der Erzeugenden u und f größer als j . Der Winkel zwischen u und f strebt mit zunehmender Entfernung vom Scheitel gegen 90°. b) Richtig – Beachte, dass für j = 90° die Richtebene ea der Schar normal zur Scheitelerzeugenden f ist. Alternativ kannst du die Aussage auch anhand des Grundrisses mit Hilfe der Umkehrung des Satzes vom rechten Winkel begründen (vgl. Kap. 4.2). 19 Ja – Zu zeigen ist, dass E und F die Strecken AB und DC im jeweils selben Verhältnis teilen. Denke an ähnliche Dreiecke. 166 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv