Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Kapitel 4 1 Du kannst nur dann sicher sein, dass ein „wahrer“ Schnittpunkt vorliegt, wenn du eine Ebene identifizieren kannst, in der beide Geraden liegen. Die Punkte 3, 4, 5, 7, 8, 9 sind „wahre“ Schnittpunkte. 2 a) Richtig – Wenn du a durch einen gemeinsamen Punkt von a und b verschiebst, so liegt die parallele Gerade sowohl in a als auch in b ; sie ist also die Schnittgerade s von a und b . b) Falsch – Lege die dritte Ebene so, dass sie parallel zur Schnittgeraden der ersten beiden Ebenen ist. c) Falsch – Die Aussage ist jedoch zutreffend, wenn die beiden Geraden nicht parallel sind. 3 Linkes Bild – Da das Schnittviereck zwei basisparallele Seiten hat, müssten alle Seiten basisparallel sein. Mittleres Bild – Da das Schnittviereck eine basisparallele Seite hat, müsste auch die gegenüberliegende Seite basisparallel sein. Rechtes Bild – Legt man eine Gerade durch die Spitze, die parallel zu den parallelen Schnittkanten ist, so wäre das die Schnittgerade der Trägerebenen gegenüberliegender Seitenflächen. Diese Schnittgerade müsste aber parallel zur Basisebene sein. 4 Die Konstruktionen sind korrekt. Beachte die Spuren der Tangentialebenen in der lotrechten Symmetrieebene der Einmündung. 5 a) Ja – Beachte etwa die Schlagschatten der waagrechten Kanten der hinteren Dachfläche. b) Beachte, dass der Doppelschattenpunkt der einspringende Eckpunkt des Schlagschattens ist. 6 Linkes Bild – Der Schlagschatten der lotrechten Kante knickt in der verlängerten Hauswand nach oben. Mittleres Bild – Der Schlagschatten der schrägen Kante knickt in der verlängerten Hauswand nach oben. Man könnte auch sagen, dass die lotrechte Wand mit der Lichtebene der schrägen Kante geschnitten wird (mit Hilfe der Spuren in der Basisebene). Rechtes Bild – Die schräge Kante und die vordere lotrechte Kante erzeugen einen Doppelschattenpunkt. 7 a) Drei Fehler – Alle Fehler betreffen Schlagschatten von waagrechten Kanten. b) Man könnte etwa den Schlagschatten der dunkleren Dachfläche auf dem Boden konstruieren und die Umlaufsinne der Dachfläche und ihres Schlagschattens vergleichen. 8 a) Denke an die Teilverhältnistreue und an Angittern. b) Berechne zuerst die Seitenlängen des umgebenden Rechtecks. Die Länge ist a = 70 (im Grundriss unverkürzt), die Breite b = 37,74 kannst du mit dem Satz von Pythagoras berechnen (b 2 = 32 2 + 20 2 ). Das einspringende Rechteck hat die Seitenlängen 18 und 17 · b/32. Der Flächeninhalt beträgt 2280,66. 9 a) Zwei gemeinsame Punkte der beiden Trägerebenen werden mit der erstprojizierenden Ebene durch AB und mit der ersten Hauptebene durch A ermittelt. b) Ja – Um etwa die Sichtbarkeit im Grundriss zu überprüfen, betrachte zwei im Grundriss deckungsgleiche Punkte von Dreieckseiten und stelle im Aufriss fest, welcher der beiden Punkte höher liegt. 10 Beachte, dass die einfache Übertragung von Punkten aus dem Aufriss in den Seitenriss eine in beiden Rissen projizierende Bezugsebene erfordert. 11 Verwende einen Seitenriss, der die Ebene ε projizierend zeigt. Der Projektionspfeil p h muss parallel zu einer Hauptgeraden von e sein. 12 a) Beschreibe die Katheten und ihre Grundrisse mit Vektoren. Denke an das skalare Produkt. b) Beginne mit der waagrechten Geraden h, die durch P geht und g trifft. Überlege, dass s und h einen rechten Winkel einschließen. Beachte, dass dieser rechte Winkel im Grundriss unverzerrt erscheint. 13 a) Verwende einen Seitenriss, in dem die Schnittebene projizierend erscheint. Der Grundriss des Projektions- pfeils p h ist parallel zur Hauptachse der Ellipse. b) Zeichne a im Seitenriss ein. Die halbe Hauptachsenlänge a der Ellipse ist der Radius r des Schnittkreises, die halbe Nebenachsenlänge b ist r · cos a . Lösungen und Hinweise Kapitel 5 1 Parabelbogen – Verlängere die Tangenten in A, B bis zu ihrem Schnittpunkt. Stelle Proportionen auf (Strahlen- satz oder ähnliche Dreiecke) und beachte, dass die Parallelseite von AB halb so lang wie AB ist. 2 Beachte, dass MS die Symmetrieachse für eine orthogonale Symmetrie ist. 3 Bei einer Kegelfläche müssten die Risse der Randkurven zentrisch ähnlich sein. 165 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv