Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A Wie bei B-Splinekurven gibt es auch bei B-Splineflächen offene und geschlossene Formen, wobei die Optionen „offen“ und „geschlossen“ für die beiden Scharen von Parameterlinien voneinander unabhängig gewählt werden können. In Fig. A.56 sind die zu den blauen Kontrollpolygonen gehörenden Parameterlinien „geschlossen“, während die zu den roten Kontrollpolygonen gehörenden Parameterlinien „offen“ sind. Die Grade sind 2 (für die geschlossenen Parameterlinien) und 3 (für die offenen Parameterlinien). Das gerenderte Bild zeigt auch die vier Bezierflächen, aus denen die B-Splinefläche zusammengesetzt ist. Fig. A.56  Fig A.56 Fig. A.57  Fig A.57 Fig. A.57 illustriert noch einmal den Zusammenhang zwischen den Graden der Parameterlinien und der „Glatt- heit“ der Fläche anhand des Typs „geschlossen –offen“. Alle vier Flächen haben dasselbe Kontrollnetz (aufgebaut aus drei roten Rechtecken). Die Grade der Parameterlinien sind 1 und 1, 1 und 2, 2 und 1, 2 und 2. Die erste Fläche besteht aus acht HP-Flächen. Nur die letzte Fläche hat keine Knickkanten. NURBS-Flächen Wenn man technisch wichtige Flächen wie Kugelflächen, Drehflächen oder Schraubflächen exakt darstellen möchte, benötigt man NURBS-Flächen. Bei NURBS-Flächen kann jeder Kontrollpunkt zusätzlich mit einem Gewicht versehen werden. Durch Erhöhen eines Gewichts wird die Fläche zum betreffenden Kontrollpunkt hingezogen, durch Vermindern wird sie vom Kontrollpunkt weggedrückt. Wenn alle Kontrollpunkte dasselbe Gewicht haben, ist die NURBS-Fläche eine B-Splinefläche. In Fig. A.58 (links) siehst du eine B-Splinefläche mit 3 · 3 Kontrollpunkten. Die Kontrollpolygone B 11 B 12 B 13 und B 21 B 22 B 23 sind gleichseitige Dreiecke, das Kontrollpolygon B 31 B 32 B 33 ist zu einem einzigen Punkt zusammen­ gezogen. Die roten Parameterlinien sind geschlossen und haben den Grad 2; sie bestehen aus drei Parabelbögen. Die grünen Parameterlinien sind offen und haben den Grad 2; sie sind Parabelbögen. Durch eine geeignete Änderung der Gewichte werden die roten Parameterlinien zu Kreisen und die grünen Parameterlinien zu Viertelkreisen. Die so entstehende NURBS-Fläche (rechtes Bild) ist eine exakte Halbkugelfläche. B 11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 B =B =B 31 32 33 Fig. A.58  Fig A.58 156 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv