Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Eine B-Splinefläche wird also durch ihr Kontrollnetz und zwei Grade r und s festgelegt. Alle Parameterlinien der einen Schar sind B-Splinekurven vom Grad r (also aus Bezierkurven vom Grad r zusammengesetzt) und alle Parameterlinien der anderen Schar sind B-Splinekurven vom Grad s (also aus Bezierkurven vom Grad s zusam- mengesetzt). In Fig. A.53 haben beide Scharen den Grad 3; alle Parameterlinien sind also aus kubischen Bezier- kurven zusammengesetzt. Wählt man beide Grade maximal (Anzahl der Kontrollpunkte minus 1), so ist die  B-Splinefläche eine Bezierfläche. B-Splineflächen Bezierflächen sind für Modellierungen mit vielen Kontrollpunkten (also hohem Grad) schlecht geeignet. Ändert man einen Kontrollpunkt, so ändert sich die gesamte Fläche. Außerdem folgen Bezierflächen dem Verlauf des Kontrollnetzes nur ganz schlecht. Diese beiden Mängel werden mit B-Splineflächen behoben. Auch B-Splineflächen haben ein Kontrollnetz, das aus zwei Scharen von Kontrollpolygonen mit jeweils gleich vielen Kontrollpunkten besteht. In   Fig. A.53 besteht es aus sechs blauen Kontrollpolygonen mit je sieben Kontrollpunkten bzw. aus sieben roten Kontrollpolygonen mit je sechs Kontrollpunkten. Die Parameterlinien sind B-Spline­ kurven. Die zu den Randpolygonen gehörenden B-Splinekurven sind die Randlinien der Fläche. Während eine Bezierfläche durch ihr Kontrollnetz bereits eindeutig festgelegt ist, muss man bei einer B-Splinefläche zusätzlich für jede Schar von Parameterlinien einen Grad angeben. Fig. A.53  Fig A.53 Jeder Flächenpunkt P wird durch ein Zahlenpaar (u,v) mit 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 festgelegt. Die Ermittlung der durch P gehenden Parameterlinien mit dem Algorith­ mus von de Boor ist sehr kompliziert und kann hier nicht erklärt werden. Die von den B-Splinekurven bekannten Knoten gibt es auch hier. Sie verursachen eine Unterteilung des Parameterbereichs in Rechtecke. Jedem Rechteck entspricht eine Bezierfläche ( Fig. A.54). Die zu den Knoten gehörenden Parameterlinien sind die Trenn­ linien zwischen den einzelnen Bezierflächen. 0 1 u 1 v (u,v) Fig. A.54 P  Fig A.54 Die Grade der Parameterlinien beeinflussen, wie gut die B-Splinefläche ihrem Kontrollnetz folgt. Die B-Spline­ flächen in Fig. A.55 haben dasselbe Kontrollnetz, aber verschiedene Grade. Die zu den blauen Kontrollpolygonen gehörenden Parameterlinien haben die Grade 2, 3 und 4, die zu den roten Kontrollpolygonen gehörenden Parameterlinien haben immer der Grad 2. Bei der letzten Fläche sind die Grade maximal (also 4 und 2); sie ist demnach eine Bezierfläche. Fig. A.55  Fig A.55 Wenn für die Grade der Parameterlinien mindestens 2 gewählt wird, sind die Übergänge zwischen den einzelnen Bezierflächen „glatt“; dies bedeutet, dass die Tangentialebenen der Bezierflächen entlang der Trennlinien jeweils gleich sind. 155 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv