Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Bezierflächen Eine Bezierfläche wird durch ein Kontrollnetz festgelegt, das aus zwei Scharen von Kontrollpolygonen mit jeweils gleich vielen Kontroll- punkten besteht. In Fig. A.50 sind dies drei rote bzw. vier blaue Kontrollpolygone mit jeweils vier bzw. drei Kontrollpunkten. Fig. A.50 P  Fig A.50 Jeder Flächenpunkt P wird durch zwei Parameterwerte u und v festgelegt, also durch ein Zahlenpaar (u,v) mit 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Die Konstruktion der Parameterlinien beruht auf dem Algorithmus von de Casteljau ( Fig. A.51). Der Algorithmus muss mehrfach durchgeführt werden. Wir bezeichnen dazu die blauen Kontrollpolygone als u-Polygone und die roten Kontrollpolygone als v-Polygone. B 11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 B 33 B 31 B 43 B 32 B 42 B 41 C 1 C 2 C 3 u B 11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 B 33 B 31 B 43 B 32 B 42 B 41 D 2 D 1 D 3 D 4 v Fig. A.51 1 0 u 1 v (u,v)  Fig A.51 Konstruktion der u-Linien Wir wählen einen fixen v-Wert (zB v = 0,5). Nun wenden wir den Algorithmus von de Casteljau auf jedes der drei v-Polygone (rot) an, wobei wir die Streckenteilungen immer im Verhältnis v : (1−v) durchführen. Dies liefert drei Punkte C 1 , C 2 und C 3 . Die Bezierkurve mit dem Kontrollpolygon C 1 C 2 C 3 ist die zum Wert v = 0,5 gehörende Para­ meterlinie. Man bezeichnet sie als u-Linie. Konstruktion der v-Linien Wir wählen einen fixen u-Wert (zB u = 0,3). Nun wenden wir den Algorithmus von de Casteljau auf jedes der vier u-Polygone (blau) an, wobei wir die Streckenteilungen immer im Verhältnis u : (1−u) durchführen. Dies liefert vier Punkte D 1 , D 2 , D 3 und D 4 . Die Bezierkurve mit dem Kontrollpolygon D 1 D 2 D 3 D 4 ist die zum Wert u = 0,3 gehörende Parameterlinie. Man bezeichnet sie als v-Linie. Alle u-Linien haben dieselbe Anzahl von Kontrollpunkten, also denselben Grad (Anzahl der Kontrollpunkte minus 1). Dasselbe gilt für alle v-Linien. Auf der Bezierfläche in Fig. A.50 sind alle u-Linien Parabelbögen (Grad 2) und alle v-Linien kubische Bezierkurven (Grad 3). Die von den Randpolygonen des Kontrollnetzes festgelegten Bezierkurven sind die Randkurven der Fläche. Die von den anderen Polygonen des Kontrollnetzes festgelegten Bezierkurven liegen nicht auf der Fläche. Die einfachsten Bezierkurven haben nur zwei Kontrollpunkte, sind daher Strecken, also uninteressant. Die einfachsten Bezierflächen haben 2 · 2 = 4 Kontrollpunkte, also ein (windschiefes) Viereck als Kontrollnetz und sind keineswegs uninteressant ( Fig. A.52). Ihre Parameterlinien sind Bezierkurven vom Grad 1, also Strecken. Diese Bezierflächen sind die in Kap. 5.6 beschriebenen HP-Flächen. B 11 B 22 B 21 B 12  Fig A.52 154 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv